Mathematik verstehen 6, Schulbuch

186 10 geraden und eBenen im raum Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich t = 1 und u = 1. Diese Werte erfüllen auch die drit- te Gleichung. Somit schneiden die Geraden g und h einander und man erhält: S = ( 1 3 – 5 ) + 1 · ( 2 1 8 ) = ( 3 4 3 ) bzw. S = ( 2 3 5 ) + 1 · ( 1 1 – 2 ) = ( 3 4 3 ) 4) _ À g= (3 1 2 1 4), _ À h= (1 1 1 1 – 2). Es ist _ À g û h. Somit schneiden g und h einander oder sind zueinander windschief. Wir untersuchen, ob es einen Schnittpunkt gibt: ( 1 1 1 ) + t · ( 3 2 4 ) = ( 2 3 5 ) + u · ( 1 1 – 2 ) É { 1 + 3t = 2 + u 1 + 2t = 3 + u 1 + 4t = 5 – 2u Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt sich t = –1 und u = – 4. Diese Werte erfüllen aber die dritte Gleichung nicht. Es gibt also keine Zahlen t, u * R , die alle drei Gleichungen erfüllen. Somit existiert kein Schnittpunkt. Die Geraden g und h sind zueinander windschief. auFgaBen 10 . 05 Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden g und h und gegebenenfalls den Schnittpunkt! a) g: x = (2 1 0 1 3) + t · (1 1 1 1 2), h: x = (3 1 1 1 5) + u · (–2 1 –1 1 4) b) g: x = (3 1 6 1 1) + t · (2 1 – 5 1 –1), h: x = (5 1 1 1 2) + u · (4 1 – 4 1 3) c) g: x = (1 1 3 1 7) + t · (3 1 2 1 0), h: X = (7 1 –1 1 3) + u · (–6 1 – 4 1 0) d) g: x = (1 1 1 1 1) + t · (1 1 5 1 2), h: x = (2 1 6 1 3) + u · (– 2 1 –10 1 – 4) e) g: x = (2 1 3 1 1) + t · (1 1 2 1 0), h: x = (– 2 1 0 1 0) + u · (3 1 1 1 1) f) g: x = (2 1 1 1 1) + t · (1 1 0 1 1), h: x = (2 1 1 1 0) + u · (–3 1 2 1 2) 10 . 06 Ergänze die fehlende Koordinate des angegebenen Richtungsvektors von g so, dass g und h einen gemeinsamen Punkt S besitzen! Ermittle S! a) g: x = (–1 1 2 1 0) + t · (1 1 1 1 z), h: x = (2 1 1 1 6) + u · (3 1 1 1 0) b) g: x = (5 1 3 1 2) + t · (4 1 y 1 –1), h: x = (6 1 – 3 1 5) + u · (–7 1 2 1 5) Winkelmaß zweier geraden im raum Das Winkelmaß zweier Geraden im Raum ist analog zum Winkelmaß zweier Geraden in der Ebene definiert. Definition Seien g und h zwei einander schneidende Geraden mit den Richtungsvektoren _ À gund _ À hsowie ½ 2 _ À g, _ À h 3 = α Unter dem Winkelmaß φ der geraden g und h versteht man: φ = { α , 180° – α , falls 0° ª α ª 90° fall s 9 0° < α ª 180° Für das Winkelmaß φ zweier Geraden im Raum gilt also stets: 0° ª φ ª 90° . auFgaBen 10 . 07 Berechne das Winkelmaß der Geraden g und h! a) g: x = (2 1 0 1 3) + t · (1 1 1 1 2), h: x = (3 1 1 1 5) + u · (–2 1 –1 1 4) b) g: x = (1 1 1 1 1) + t · (1 1 5 1 2), h: x = (3 1 11 1 5) + u · (2 1 1 1 – 4) c) g: x = (1 1 3 1 7) + t · (3 1 2 1 0), h: x = (– 2 1 –1 1 7) + u · (3 1 1 1 0) d) g: x = (1 1 –1 1 4) + t · (1 1 6 1 6), h: x = (2 1 5 1 10) + u · (4 1 1 1 – 6) R Ó arbeitsblatt e6z88z L kompakt seite 199 h g g h α φ h g g h φ = α L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv