Mathematik verstehen 6, Schulbuch

185 10 .1 geraden im raum auFgaBen 10 . 01 Gib eine Parameterdarstellung der Geraden durch den Punkt P mit dem Richtungsvektor _ À gan! a) P = (2 1 – 3 1 4), _ À g= (2 1 –1 1 5) b) P = (1 1 1 1 8), _ À g= (3 1 –1 1 1) c) P = (3 1 9 1 9), _ À g= (–1 1 3 1 5) 10 . 02 Gib eine Parameterdarstellung der Geraden durch die Punkte P und Q an! a) P = (3 1 3 1 1), Q = (2 1 –1 1 4) b) P = (0 1 – 2 1 4), Q = (8 1 6 1 0) c) P = (6 1 5 1 – 2), Q = (1 1 1 1 1) 10 . 03 Kreuze die Punkte an, die auf der Geraden g: X = (‒1 1 ‒ 2 1 5) + t · (2 1 ‒1 1 ‒ 2) liegen! c (11 1 ‒ 8 1 ‒7) c (9 1 ‒ 6 1 ‒ 3) c (‒ 3 1 ‒ 3 1 7) c (‒7 1 1 1 11) c (5 1 ‒ 5 1 ‒1) gegenseitige lage und schnitt zweier geraden im raum In der Ebene haben nicht parallele Geraden auf jeden Fall einen Schnittpunkt. Im Raum hinge- gen gibt es Geraden, die nicht parallel sind und einander auch nicht schneiden. Solche Geraden nennt man zueinander windschief . Zwei Geraden in R 3 können folgende gegenseitige Lagen einnehmen: g und h schneiden g und h sind g und h sind parallel g und h sind parallel einander zueinander windschief und verschieden und zusammenfallend g ° h = {s} g ° h = { } g ° h = { } g ° h = g = h 10 . 04 Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden g und h und allenfalls den Schnittpunkt! 1) g: x = (2 1 3 1 – 4) + t · (1 1 –1 1 2), h: x = (3 1 5 1 – 4) + u · (– 2 1 2 1 – 4) 2) g: x = (1 1 1 1 3) + t · (2 1 – 5 1 –1)), h: x = (3 1 – 4 1 2) + u · (–2 1 5 1 1) 3) g: x = (1 1 3 1 – 5) + t · (2 1 1 1 8), h: x = (2 1 3 1 5) + u · (1 1 1 1 – 2) 4) g: x = (1 1 1 1 1) + t · (3 1 2 1 4), h: x = (2 1 3 1 5) + u · (1 1 1 1 – 2) lösung: 1) _ À g= (1 1 –1 1 2), _ À h= (– 2 1 2 1 – 4). Es ist _ À g u _ À h. Somit ist g u h. Wir prüfen, ob g und h zusammenfallen oder verschieden sind. Für P = (2 1 3 1 ‒ 4) * g und Q = (3 1 5 1 ‒ 4) * h ergibt sich _ À PQ= (1 1 2 1 0) û _ À g. Somit sind g und h parallel und verschieden. 2) _ À g= (2 1 – 5 1 –1), _ À h= (– 2 1 5 1 1). Es ist _ À g u _ À h. Somit ist g u h. Wir prüfen, ob g und h zusammen- fallen oder verschieden sind. Für P = (1 1 1 1 3) * g und Q = (3 1 – 4 1 2) * h ergibt sich _ À PQ= (2 1 – 5 1 –1). _ À PQist parallel zu _ À gbzw. _ À h. Somit sind g und h parallel und zusammenfallend. 3) _ À g= (2 1 1 1 8), _ À h= (1 1 1 1 – 2). Es ist _ À g û _ À h. Somit schneiden g und h einander oder sind zueinander windschief. Um zu entscheiden, welcher Fall vorliegt, untersuchen wir, ob es einen Schnitt- punkt S gibt. Ein Punkt S liegt auf g und h genau dann, wenn es ein t * R und ein u * R gibt, sodass: ( 1 3 – 5 ) + t · ( 2 1 8 ) = ( 2 3 5 ) + u · ( 1 1 – 2 ) É { 1 + 2t = 2 + u 3 + t = 3 + u – 5 + 8t = 5 – 2u R kompakt seite 199 R kompakt seite 199 h S g h g h g g = h Ó lernapplet p5p4rn h g P Q g h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv