Mathematik verstehen 6, Schulbuch

184 10 GERADEN UND EBENEN IM RAUM lerNz iele 10 .1 Parameterdarstellungen von geraden im raum angeben können; die gegenseitige lage zweier geraden im raum ermitteln können; schnittpunkte berechnen können. 10 . 2 Parameterdarstellungen von ebenen im raum angeben können. 10 . 3 Normalvektordarstellungen von ebenen im raum angeben können. 10 . 4 Die gegenseitige lage von gerade und ebene bzw. zweier ebenen im raum ermitteln können. 10 . 5 Die gegenseitige lage von drei ebenen im raum ermitteln können; lineare gleichungs- systeme in drei variablen lösen und geometrisch deuten können. 10 . 6 abstände im raum ermitteln können. 10 . 7 Zum sinn der analytischen geometrie technologie kompakt Kompetenzcheck grUNDKoMPeteNzeN geraden durch (Parameter-) gleichungen in R 3 angeben können; geradengleichungen interpretieren können; lagebeziehungen (zwischen Geraden und zwischen Punkt und Gerade) analysieren, schnittpunkte ermitteln können. lineare gleichungssysteme in drei variablen lösen können. Wissen, wodurch Ebenen festgelegt sind; ebenen in Parameter- und Normalvektordarstellung aufstellen können. 10 .1 geraden im raum Parameterdarstellung einer geraden im raum Parameterdarstellungen von Geraden im Raum sind analog zu jenen der Ebene definiert. Definition Sind P und Q zwei verschiedene Punkte einer Geraden g im Raum, dann nennt man den vektor _ À g= _ À PQeinen richtungsvektor von g . An der nebenstehenden Abbildung erkennt man x * g É Es gibt ein t * ℝ , sodass x = P + t · _ À g Definition: Die vektorgleichung X = P + t · _ À g nennt man eine Parameterdarstellung der geraden g mit dem Parameter t . Jedem Parameterwert t * R entspricht genau ein Punkt auf der Geraden g. Umgekehrt entspricht jedem Punkt auf der Geraden g genau ein Parameterwert t * R . Eine gerade in R 3 kann durch die folgende Punktmenge beschrieben werden: g = {X * R 3 ‡ X = P + t · _ À g ? t * R } Geht diese durch die Punkte P und Q (mit P ≠ Q), so bezeichnen wir sie mit PQ . ag-r 3 . 4 ag- l 2 . 7 ag- l 3 . 9 R P Q g g P x g g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv