Mathematik verstehen 6, Schulbuch

183 Kompetenzcheck aUFgaBeN voM tYP 2 9 . 48 Finden geeigneter Koordinaten Gegeben ist das Dreieck ABC mit A = (r 1 0 1 s), B = (r 1 r 1 r), C = (0 1 s 1 r) und r, s * ℝ (r und s nicht beide 0). a) Zeige, dass das Dreieck ABC gleichschenkelig ist! Gib geeignete Zahlenwerte für r und s an, sodass das Dreieck ABC gleichseitig ist! b) Gib geeignete Zahlenwerte für r und s an, sodass das Dreieck ABC spitzwinkelig ist! Gib geeignete Zahlenwerte für r und s an, sodass das Dreieck ABC stumpfwinkelig ist! c) Zeige, dass das Dreieck ABC für r = 1 und s = –1 nicht rechtwinkelig ist! Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks! d) Gib geeignete Zahlenwerte für r und s an, sodass das Dreieck ABC den Schwerpunkt S = (2 1 2 1 3) hat! Gib für r = 1 und s = –1 einen vektor an, der auf das zugehörige Dreieck ABC normal steht und den Betrag 2 9 __ 21hat! 9 . 49 turmhelm Gegeben ist eine regelmäßige quadratische Pyrami- de mit der Grundfläche ABCD und der Spitze S. Die Grundkantenlänge beträgt a = 8 und die höhe h = 27 (Angaben in m). Errichtet man über jeder der vier Grundkanten dieser Pyramide ein gleich schenkeliges, lotrecht stehendes Giebeldreieck mit der höhe g = 8, so entsteht der nebenstehend blau dargestellte „Turmhelm“, dessen Dachfläche aus acht kongruenten Dreiecken besteht. a) Bette die Pyramide wie in der Abbildung in ein Koordinatensystem ein! Gib die Koordinaten der Basiseckpunkte A, B, C, D, der Turmspitze S und der Giebelspitzen E, F, G, h an! Berechne den Inhalt der Dachfläche des Turmhelms! b) Berechne das Maß des Winkels, den die benachbarten Dachkanten EA und ES miteinander einschließen! Auf der Dachkante ES soll in 5m Entfernung von der Turmspitze S eine Funkeinrichtung R positioniert werden. Ermittle die Koordinaten von R! c) Gib die Koordinaten der Punkte A, B, C, D, E, F, G, h und S allgemein für a, g, h * ℝ + an! Zeige, dass für g = h _ 2 und beliebiges a * ℝ + das viereck AESh ein Rhombus ist, weil die Mittelpunkte der Strecken AS und hE identisch sind und diese Strecken aufeinander normal stehen. (Die Dachfläche des Turm- helms besteht in diesem Fall aus vier kongruenten Rhombusflächen. Ein solches Dach wird als Rhombendach oder Rautendach bezeichnet.) ag-r 3 .1 ag-r 3 . 2 ag- l 3 . 6 ag- l 3 . 7 ag- l 3 . 8 ag-r 3 .1 ag-r 3 . 2 ag- l 3 . 6 ag- l 3 . 7 ag- l 3 . 8 A a a g g S B D E h 3. A. 1. A. 2. A. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv