Mathematik verstehen 6, Schulbuch

180 9 vektoren in R 3 Normalprojektion in ​ ℝ ​ 3 ​ Die Normalprojektion ​ ​ _ À ​a​ b ​eines vektors ​ ​ _ À a​auf einen vektor ​ ​ _ À b​ist in ​ ℝ ​ 3 ​ analog zu ​ ℝ ​ 2 ​definiert. Wie in ​ ℝ ​ 2 ​kann man auch in ​ ℝ ​ 3 ​die folgende Formel herleiten: satz (Betrag der Normalprojektion) Für alle von ​ ​ _ À o​verschiedenen vektoren ​ ​ _ À a​, ​ ​ _ À b​ * ​ ℝ ​ 3 ​gilt: ​ † ​ ​ _ À a​ b ​ † ​= ​ ​ † ​ ​ _ À a​· ​ ​ _ À b​ † ​ _ ​ † ​ ​ _ À b​ † ​ ​ auFgaben 9 . 38 Berechne den Betrag der Normalprojektion des vektors ​ ​ _ À a​auf den vektor ​ ​ _ À b​! a) ​ ​ _ À a​= (1 1 – 4 1 8), ​ ​ _ À b​= (– 3 1 12 1 4) c) ​ ​ _ À a​= (–1 1 1 1 6), ​ ​ _ À b​= (6 1 – 24 1 – 8) b) ​ ​ _ À a​= (4 1 5 1 – 6), ​ ​ _ À b​= (1 1 0 1 0) d) ​ ​ _ À a​= (3 1 9 1 –7), ​ ​ _ À b​= (2 1 2 1 2) volumen eines Parallelepipeds 9 . 39 Ein Prisma ABCDEFGh wie in der Abbildung wird als Parallelepiped bezeichnet. Berechne das volumen v des Parallelepipeds mit A = (–3 1 3 1 1), B = (3 1 5 1 3), C = (5 1 1 1 2), E = (– 3 1 4 1 6)! lösung: ​ ​ _ À a​= ​ ​ _ À AB​= (6 1 2 1 2), ​ ​ _ À b​= ​ ​ _ À AD​= ​ ​ _ À BC​= (2 1 – 4 1 –1), ​ ​ _ À c​= ​ ​ _ À AE​= (0 1 1 1 5) ƒƒ Inhalt der Grundfläche: G = ​ † ​ ​ _ À a​ × ​ ​ _ À b​ † ​ ƒƒ Die höhe h ist gleich dem Betrag der Normalprojektion des vektors ​ ​ _ À c​auf den vektor ​ ​ _ À a​ × ​ ​ _ À b​: h = ​ ​ † ​ ​ _ À c​· (​ ​ _ À a​ × ​ ​ _ À b​) † ​ __ ​ † ​ ​ _ À a​ × ​ ​ _ À b​ † ​ ​ ƒƒ v = G · h = ​ † ​ ​ _ À a​ × ​ ​ _ À b​ † ​· ​ ​ † ​ ​ _ À c​· (​ ​ _ À a​ × ​ ​ _ À b​) † ​ __ ​ † ​ ​ _ À a​ × ​ ​ _ À b​ † ​ ​= ​ † (​ ​ _ À a​ × ​ ​ _ À b​) · ​ ​ _ À c​ † ​ v = ​ † ​ 4 ​ 2 ​ 6 2 2 ​ 3 ​ × ​ 2 ​ 2 – 4 –1 ​ 3 ​ 5 ​· ​ 2 ​ 0 1 5 ​ 3 ​ † ​= ​ † ​ 2 ​ 6 10 – 28 ​ 3 ​· ​ 2 ​ 0 1 5 ​ 3 ​ † ​= † 0 + 10 – 140 † = 130 In der letzten Aufgabe hat sich ergeben: satz Für das volumen v eines von den vektoren ​ ​ _ À a​, ​ ​ _ À b​, ​ ​ _ À c​ * ​ ℝ ​ 3 ​aufgespannten Parallelepipeds gilt: v = ​ † (​ ​ _ À a​× ​ ​ _ À b​) · ​ ​ _ À c​ † ​ Bemerkung: Da ein Parallelepiped auch als Spat bezeichnet wird, nennt man den Ausdruck (​ ​ _ À a​× ​ ​ _ À b​) · ​ ​ _ À c​ das spatprodukt der vektoren ​ ​ _ À a​, ​ ​ _ À b​und ​ ​ _ À c​. auFgaben 9 . 40 Berechne das volumen des Parallelepipeds ABCDEFGh! a) A = (1 1 –1 1 5), B = (3 1 2 1 5), F = (4 1 1 1 9), G = (8 1 2 1 6) b) B = (1 1 – 4 1 5), F = (9 1 7 1 7), G = (10 1 8 1 11), h = (12 1 4 1 7) c) A = (– 9 1 1 1 2), D = (– 5 1 5 1 4), E = (–1 1 2 1 7), F = (5 1 –1 1 8) d) C = (7 1 6 1 – 2), D = (3 1 4 1 2), F = (6 1 –1 1 1), h = (5 1 1 1 3) L φ a a b b L L Ó applet ua5m42 a b c A E F G h B C D a h × b a b c L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv