Mathematik verstehen 6, Schulbuch

18 1 Potenzen, Wurzeln und logari thmen Wurzelgleichungen 1 . 83 Für welche x * R gilt: a) ​ 9 ____ 2x – 4​– 2 = 0 b) ​ 9 ____ 2x – 4​+ 2 = 0 c) ​ 9 ____ 2 – 2x​= ​ 9 ____ 2x – 10​ lösung: a) ​ 9 ____ 2x – 4​– 2 = 0 | Isolieren der Wurzel Probe: ​ 9 _____ 2 · 4 – 4​– 2 = 0 ​ 9 ____ 2x – 4​= 2 | Quadrieren 2x – 4 = 4 2x = 8 x = 4 b) ​ 9 ____ 2x – 4​+ 2 = 0 | Isolieren der Wurzel Probe: ​ 9 _____ 2 · 4 – 4​+ 2 ≠ 0 ​ 9 ____ 2x – 4​= – 2 | Quadrieren Die erhaltene Zahl 4 ist also keine Lösung 2x – 4 = 4 der gegebenen Gleichung. 2x = 8 Die Gleichung gilt für kein x * R . x = 4 c) ​ 9 ____ 2 – 2x​= ​ 9 ____ 2x – 10​ | Quadrieren Probe: ​ 9 ___ 2 – 6​= ​ 9 ____ 6 – 10​ 2 – 2x = 2x – 10 Diese Gleichung ist sinnlos, da die 4x = 12 Radikanden auf beiden Seiten negativ x = 3 sind. Die erhaltene Zahl 3 ist also keine Lösung der gegebenen Gleichung. Die Gleichung gilt für kein x * R . In den Aufgaben 1.83b) und c) haben wir jeweils eine Zahl x erhalten, die die Probe nicht besteht, sodass diese Zahl keine Lösung der gegebenen Gleichung ist. Woran liegt das? Der Grund dafür ist darin zu suchen, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Es gilt nur a = b w a 2 = b 2 , aber nicht a 2 = b 2 w a = b. ZB: Aus (– 2) 2 = 2 2 folgt nicht – 2 = 2. Wir haben durch unsere Rechnung nur gezeigt: Wenn die gegebene Gleichung eine Lösung x besitzt, dann muss x die erhaltene Zahl sein. Ob diese Zahl aber tatsächlich eine Lösung der Gleichung ist oder nicht, muss durch die Probe entschieden werden. Bei Wurzelgleichungen ist somit die Probe unerlässlich . Aufgaben 1 . 84 Für welche x * R gilt: a) ​ 9 ____ 3x + 1​+ 2 = 6 c) 4 + ​ 9 __ ​ 3x _ 4 ​​= 6 e) ​ 9 ____ 2x + 1​= ​ 9 ____ 5x – 11​ b) ​ 9 ____ 3x + 1​+ 6 = 2 d) 25 – ​ 9 ____ 4x – 7​= 20 f) ​ 9 ___ x – 2​= ​ 9 ____ 3x + 4​ 1 . 85 Für welche a * R gilt: a) ​ 9 ___ a – 2​– ​ 9 ___ a + 5​= 7 d) ​ 9 ___ a + 5​– ​ 9 _ a​= 1 g) 2 + ​ 9 _____ a​ ​ 2 ​+ a + 4​= a + 3 b) ​ 9 ___ a – 2​+ ​ 9 ___ a + 5​= 7 e) ​ 9 ____ a + 34​= ​ 9 ___ a – 1​+ 5 h) 1 + ​ 9 _______ (a + 2) (a – 2)​= a c) ​ 9 ___ a + 11​+ ​ 9 _ a​= 11 f) 1 + ​ 9 ____ a + 21​= ​ 9 ____ a + 44​ i) ​ 9 _______ (a + 1) (a – 3)​+ 2 = a 1 . 86 Für welche x * R gilt: a) ​ 9 ____ 8x + 1​– ​ 9 ____ 2x + 4​= ​ 9 ____ 2x – 3​ c) ​ 3 _ ​ 9 ___ x + 8​ ​= ​ 1 _ ​ 9 _ x​ ​ e) 2​ 9 ___ x + 2​+ 5​ 9 ___ x – 1​= ​ 9 _____ 49x – 17​ b) ​ 9 ________ (x – 1) · (x + 2)​+ 1 = x d) ​ 4 _ ​ 9 ___ x + 4​ ​= 3 f) 2​ 9 ___ x + 3​+ ​ 9 ____ 4x + 12​= 12 L kompakt Seite 26 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv