Mathematik verstehen 6, Schulbuch

179 9 . 4 vektorprodukt und NormalproJekt ion in R 3 Wir fassen zusammen: satz (eigenschaften des vektorprodukts) Sind _ À aund _ À bnicht parallele und von _ À overschiedene vektoren in ℝ 3 , dann gilt: (1) ( _ À a × _ À b) © _ À aund ( _ À a× _ À b) © _ À b (2) † _ À a × _ À b † = Flächeninhalt eines von _ À aund _ À baufgespannten Parallelogramms (3) _ À a, _ À bund _ À a× _ À bbilden ein rechtssystem. Da sich ein Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke zerlegen lässt, folgt aus (2) eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks: satz (Flächeninhalt eines Dreiecks) Für den Flächeninhalt A eines von den vektoren _ À a, _ À b * ℝ 3 aufgespannten Dreiecks gilt: a = 1 _ 2 · † _ À a× _ À b † auFgaben 9 . 32 Gegeben sind die vom Nullvektor verschiedenen vektoren _ À a= (a 1 1 a 2 1 a 3 ) und _ À b= (b 1 1 b 2 1 b 3 ). Beweise durch Rechnung und begründe geometrisch: a) _ À a × _ À b= – ( _ À b × _ À a) b) _ À a × _ À a= _ À o c) _ À a u _ À b w _ À a × _ À b= _ À o 9 . 33 Gegeben sind die vom Nullvektor verschiedenen vektoren _ À a= (a 1 1 a 2 1 a 3 ) und _ À b= (b 1 1 b 2 1 b 3 ). 1) Zeige durch Rechnung, dass für alle r * ℝ + gilt: (r · _ À a) × _ À b= _ À a × (r · _ À b) = r · ( _ À a × _ À b) 2) Deute die Beziehung † (r · _ À a) × _ À b † = † _ À a × (r · _ À b) † = † r · ( _ À a × _ À b) † geometrisch anhand der nebenstehenden Abbildung! 9 . 34 Berechne mit hilfe des vektorprodukts den Flächeninhalt eines 1) Parallelogramms, 2) Dreiecks, das von den vektoren _ À aund _ À baufgespannt wird! a) _ À a= (1 1 2 1 3), _ À b= (7 1 4 1 –1) c) _ À a= (1 1 4 1 – 6), _ À b= (– 5 1 2 1 –1) b) _ À a= (0 1 4 1 0), _ À b= (3 1 2 1 6) d) _ À a= (– 2 1 – 2 1 3), _ À b= (4 1 – 6 1 –1) 9 . 35 von einem Quader kennt man drei Eckpunkte A, B, C der Grundfläche und die höhe h. Zeige, dass die Grundfläche ABCD ein Quadrat ist und berechne die Eckpunkte E, F, G, h der Deckfläche des Quaders! Wie viele Lösungen gibt es? a) A = (9 1 3 1 12), B = (3 1 11 1 36), C = (– 5 1 –13 1 42), h = 39 b) A = (5 1 1 1 – 4), B = (– 4 1 3 1 2), C = (2 1 9 1 9), h = 22 9 . 36 von einem geraden dreiseitigen Prisma kennt man die Eckpunkte A, B, C der Grundfläche und die höhe h. Berechne die Eckpunkte D, E, F der Deckfläche des Prismas (2 Lösungen)! a) A = (4 1 1 1 – 3), B = (1 1 0 1 1), C = (8 1 2 1 –11), h = 18 b) A = (2 1 3 1 0), B = (8 1 0 1 – 2), C = (– 2 1 – 3 1 4), h = 21 9 . 37 von einem geraden dreiseitigen Prisma mit der Grundfläche ABC und der Deckfläche DEF kennt man A = (0 1 0 1 0), B = (2 1 7 1 –10), C = (– 2 1 –1 1 4) und D = (6 1 y 1 z). Berechne die Koordinaten der Eckpunkte D, E, F und das volumen v des Prismas! |a × b| a × b a b a b L b a r · r a · b A B C D E F Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv