Mathematik verstehen 6, Schulbuch

178 9 vektoren in R 3 eigenschaften des vektorprodukts Im Folgenden sind _ À aund _ À bstets nicht parallele und von _ À o verschiedene vektoren in ℝ 3 . Bezüglich des vektorprodukts _ À a × _ À b stellen sich drei Fragen: Wie groß ist der Betrag des vektors _ À a × _ À b? Welche Richtung weist ein zu _ À a × _ À bgehöriger Pfeil auf? Welche Orientierung weist ein zu _ À a × _ À bgehöriger Pfeil auf? (Es gibt ja zwei Möglichkeiten, wie man in der Abbildung sieht.) zum Betrag von _ À a× _ À b: † _ À a × _ À b † = 9 _______________________ (a 2 b 3 – a 3 b 2 ) 2 + (a 3 b 1 – a 1 b 3 ) 2 + (a 1 b 2 – a 2 b 1 ) 2 Durch Ausquadrieren und Zusammenfassen unter der Wurzel ergibt sich: † _ À a × _ À b † = 9 ____________________________ 2 a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 3 · 2 b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 3 – (a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) 2 = 9 _________ _ À a 2 · _ À b 2 – ( _ À a· _ À b) 2 Dieser Wurzelausdruck gibt den Flächeninhalt A des von den vektoren _ À aund _ À baufgespannten Parallelogramms an (vgl. Seite 175). Somit gilt: Der Betrag von _ À a× _ À b ist gleich dem Flächeninhalt eines von _ À aund _ À baufgespannten Parallelogramms . zur richtung von _ À a× _ À b: Wir haben schon in Aufgabe 9.29 b) gezeigt: Der vektor _ À a × _ À bist normal zu _ À aund zu _ À b. zur orientierung von _ À a× _ À b: Wir gehen von der folgenden Definition aus. Dabei stellen wir die vektoren durch Pfeile von einem gemeinsamen Anfangspunkt aus dar. Definition Die vektoren _ À a, _ À bund _ À a × _ À bbilden ein rechtssystem ( linkssystem ), wenn bei kürzester Drehung von _ À anach _ À b der vektor _ À a × _ À bin jene Richtung zeigt, in die sich bei dieser Drehung eine Rechtsschraube (Linksschraube) bewegen würde. Man kann beweisen: satz Die vektoren _ À a, _ À bund _ À a × _ À bbilden genau dann ein rechtssystem ( linkssystem ), wenn die Koordinatenachsen so angeordnet sind, dass die Einheitsvektoren _ À e 1 = (1 1 0 1 0), _ À e 2 = (0 1 1 1 0) und _ À e 3 = (0 1 0 1 1) der Koordinatenachsen ein Rechtssystem (Linkssystem) bilden. Da in diesem Buch die Koordinatenachsen immer so angeordnet sind, dass die Einheitsvektoren _ À e 1 , _ À e 2 , und _ À e 3 ein Rechtssystem bilden, bilden die vektoren _ À a, _ À bund _ À a × _ À bin diesem Buch immer ein Rechtssystem. L Ó applet au26v8 a b a × b |a × b| a Rechtssystem (Rechtsschraube) Linkssystem (Linksschraube) b a b a × b a × b e 1 e 2 e 3 1 1 1 a × b a b y z x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv