Mathematik verstehen 6, Schulbuch

177 9 . 4 vektorprodukt und NormalproJekt ion in R 3 Der in Aufgabe 9.29 b) erhaltene Normalvektor _ À nerhält einen eigenen Namen: Definition Es seien _ À a= (a 1 1 a 2 1 a 3 ) und _ À b= (b 1 1 b 2 1 b 3 ) vektoren in ℝ 3 . Der vektor _ À a × _ À b= 2 a 2 b 3 – a 3 b 2 a 3 b 1 – a 1 b 3 a 1 b 2 – a 2 b 1 3 heißt vektorprodukt (oder vektorielles Produkt ) der vektoren _ À aund _ À b . vektorprodukte können mit Technologieeinsatz bequem berechnet werden (siehe Seite 181). Merkschemata bei „händischer“ Berechnung 1. Möglichkeit: Man schreibt die Koordinaten der vektoren _ À aund _ À bspaltenweise nebeneinander an. Dann denkt man sich der Reihe nach die erste, zweite bzw. dritte Zeile gestrichen und multipliziert die verbleibenden Koordinaten kreuzweise wie folgt miteinander: a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ¥ a 2 b 3 – a 3 b 2 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ¥ – (a 1 b 3 – a 3 b 1 ) a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ¥ a 1 b 2 – a 2 b 1 Beachte die Änderung des vorzeichens bei der 2. Koordinate! 2. Möglichkeit: Man schreibt die Koordinaten der vektoren _ À aund _ À bspaltenweise wie unten gezeigt an, beginnend mit den zweiten Koordinaten a 2 und b 2 . Dann wird fortlaufend kreuzweise multipliziert. a 2 b 2 a 3 b 3 a 1 b 1 a 2 b 2 ¥ a 2 b 3 – a 3 b 2 ¥ a 3 b 1 – a 1 b 3 ¥ a 1 b 2 – a 2 b 1 Es empfiehlt sich, nach der Berechnung die folgende Probe zu machen: Da _ À a × _ À bein gemeinsamer Normalvektor von _ À aund _ À bist, muss ( _ À a × _ À b) · _ À a= 0 und ( _ À a × _ À b) · _ À b= 0 sein. Beachte Das vektorprodukt unterscheidet sich in zweierlei hinsicht vom Skalarprodukt zweier vektoren: Das Skalarprodukt kann in ℝ 2 und in ℝ 3 gebildet werden, das vektorprodukt nur in ℝ 3 . Das skalarprodukt ist ein skalar (eine reelle Zahl), das vektorprodukt ein vektor . auFgaben 9 . 30 Gib einen vektor an, der zu _ À aund _ À bnormal ist! a) _ À a= (– 2 1 –1 1 1), _ À b= (4 1 0 1 3) c) _ À a= (6 1 – 2 1 0), _ À b= (1 1 2 1 0) e) _ À a= (2 1 0 1 1), _ À b= (2 1 0 1 –1) b) _ À a= (5 1 5 1 – 3), _ À b= (1 1 1 1 6) d) _ À a= (– 3 1 0 1 4), _ À b= (2 1 2 1 2) f) _ À a= (3 1 5 1 –1), _ À b= (1 1 0 1 0) 9 . 31 Berechne das vektorprodukt der vektoren _ À aund _ À b! a) _ À a= (3 1 –1 1 6), _ À b= (4 1 2 1 3) c) _ À a= (3 1 0 1 6), _ À b= (4 1 0 1 –1) e) _ À a= (3r 1 2r 1 r), _ À b= (s 1 2s 1 3s) b) _ À a= (2 1 – 2 1 0), _ À b= (1 1 2 1 0) d) _ À a= (– 2 1 6 1 3), _ À b= (3 1 – 2 1 6) f) _ À a= (r 1 s 1 t), _ À b= (t 1 – s 1 r) kompakt seite 181 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv