Mathematik verstehen 6, Schulbuch

176 9 vektoren in R 3 9 . 4 vektorprodukt und NormalproJektion in R 3 Normalvektoren in R 3 Das Ermitteln von Normalvektoren ist in ℝ 3 komplizierter als in ℝ 2 . Nebenstehend ist ein von _ À overschiedener vektor _ À a * ℝ 3 durch einen roten Pfeil im Raum dargestellt. Alle vektoren, die zu _ À anormal sind, können durch Pfeile dargestellt werden, die in einer Normalebene E zu dem zu _ À agehörigen Pfeil liegen. Diese Normalvektoren zu _ À akönnen also verschiedene Richtungen und verschiedene Beträge haben. Nebenstehend sind zwei von _ À overschiedene vektoren _ À a, _ À b * ℝ 3 durch rote Pfeile dargestellt. Alle vektoren, die sowohl zu _ À aals auch zu _ À b normal sind, können durch Pfeile dargestellt werden, die auf einer Normalgeraden g zu den beiden roten Pfeilen liegen. Diese Normalvektoren sind alle zueinander parallel, können aber verschiedene Beträge haben. 9 . 29 Gib einen vektor _ À nan, der zu _ À aund _ À bnormal ist! a) _ À a= (4 1 – 5 1 – 2), _ À b= (3 1 3 1 –1) b) _ À a= (a 1 1 a 2 1 a 3 ), _ À b= (b 1 1 b 2 1 b 3 ) lösung: Wir setzen _ À n= (x 1 y 1 z). a) Da _ À n © _ À aund _ À n © _ À b, muss gelten: b) Da _ À n © _ À aund _ À n © _ À b, muss gelten: { _ À a· _ À n= 4x – 5y – 2z = 0 _ À b· _ À n= 3x + 3y – z = 0 { _ À a· _ À n= a 1 x + a 2 y + a 3 z = 0 _ À b· _ À n= b 1 x + b 2 y + b 3 z = 0 Setzt man für z eine beliebige reelle Setzt man für z eine beliebige reelle Zahl ein, etwa z = t mit t * ℝ , so ergibt Zahl ein, etwa z = t mit t * ℝ , so ergibt sich ein Gleichungssystem für x und y: sich ein Gleichungssystem für x und y: { 4x – 5y = 2t 3x + 3y = t  { a 1 x + a 2 y = – a 3 t b 1 x + b 2 y = – b 3 t Löst man dieses Gleichungssystem (zB Löst man dieses Gleichungssystem, so mit Technologieeinsatz), so ergibt sich: ergibt sich: x = 11 _ 27 · t, y = – 2 _ 27 · t, z = t x = a 2 b 3 – a 3 b 2 __ a 1 b 2 – a 2 b 1 · t, y = a 3 b 1 – a 1 b 3 __ a 1 b 2 – a 2 b 1 · t, z = t Somit ist 2 11 _ 27 · t 1 – 2 _ 27 · t 1 t 3 für jedes t * ℝ Somit ist 2 a 2 b 3 – a 3 b 2 __ a 1 b 2 – a 2 b 1 · t 1 a 3 b 1 – a 1 b 3 __ a 1 b 2 – a 2 b 1 · t 1 t 3 ein Normalvektor zu _ À aund _ À b. für jedes t * ℝ ein Normalvektor zu _ À aund _ À b. Da wir nur einen Normalvektor suchen, Da wir nur einen Normalvektor suchen, wählen wir der Einfachheit halber t = 27 wählen wir der Einfachheit halber und erhalten: t = a 1 b 2 – a 2 b 1 und erhalten: _ À n= (11 1 – 2 1 27) _ À n= (a 2 b 3 – a 3 b 2 1 a 3 b 1 – a 1 b 3 1 a 1 b 2 – a 2 b 1 ) Bemerkung: In der Aufgabe 9.29 b) haben wir stillschweigend a 1 b 2 – a 2 b 1 ≠ 0 vorausgesetzt. Der vektor _ À n= (a 2 b 3 – a 3 b 2 1 a 3 b 1 – a 1 b 3 1 a 1 b 2 – a 2 b 1 ) ist aber auch dann zu _ À aund _ À b normal, wenn a 1 b 2 – a 2 b 1 = 0 ist! Überprüfe dies selbst mit dem Skalarprodukt! L E a g a b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv