Mathematik verstehen 6, Schulbuch

175 9 . 3 einFache anwendungen der vektorrechnung in der rÄuml ichen geometrie Winkelmaß von vektoren in R 3 Das Winkelmaß zweier vektoren ist in ℝ 3 analog definiert wie in ℝ 2 . Definition Zwei vom Nullvektor verschiedene vektoren _ À a, _ À b * ℝ 3 seien durch Pfeile von einem gemeinsamen Anfangspunkt aus dargestellt. Das Maß φ des Winkels, den diese beiden Pfeile miteinander einschließen, nennt man das Winkelmaß der vektoren _ À aund _ À b . Für das Winkelmaß φ zweier vektoren gilt stets: 0° ª φ ª 180° . Analog zu ℝ 2 gilt auch in ℝ 3 : satz Ist φ das Winkelmaß der vom Nullvektor verschiedenen vektoren _ À a, _ À b * ℝ 3 , dann gilt: cos φ = _ À a· _ À b _ † _ À a † · † _ À b † Wie in ℝ 2 folgt in ℝ 3 aus _ À a· _ À b= † _ À a † · † _ À b † · cos φ : Ist _ À a· _ À b> 0, so bilden die Pfeile einen spitzen Winkel. Ist _ À a· _ À b< 0, so bilden die Pfeile einen stumpfen Winkel. Ist _ À a· _ À b= 0, so bilden die Pfeile einen rechten Winkel. auFgaben 9 . 25 Berechne das Winkelmaß der vektoren _ À aund _ À b! a) _ À a= (7 1 2 1 1), _ À b= (3 1 2 1 – 3) b) _ À a= (4 1 0 1 – 5), _ À b= (1 1 1 1 7) c) _ À a= (4 1 1 1 7), _ À b= (5 1 5 1 2) 9 . 26 Zeige, dass das Dreieck ABC rechtwinkelig ist und berechne die Maße der beiden anderen Winkel! a) A = (1 1 3 1 –1), B = (2 1 5 1 – 4), C = (3 1 5 1 1) c) A = (3 1 2 1 0), B = (4 1 1 1 7), C = (1 1 1 1 1) b) A = (10 1 0 1 0), B = (6 1 0 1 1), C = (7 1 1 1 5) d) A = (2 1 1 1 –1), B = (3 1 –1 1 – 4), C = (4 1 –1 1 1) Flächeninhalt eines Dreiecks in R 3 Wie in ℝ 2 kann man auch in ℝ 3 beweisen: satz Für den Flächeninhalt A eines von den vektoren _ À a= (a 1 1 a 2 1 a 3 ) und _ À b= (b 1 1 b 2 1 b 3 ) aufgespannten Dreiecks gilt: a = 1 _ 2 · 9 ________ _ À a 2 · _ À b 2 – ( _ À a· _ À b) 2 auFgaben 9 . 27 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den vektoren _ À aund _ À baufgespannt wird! a) _ À a= (5 1 2 1 3), _ À b= (2 1 4 1 –1) b) _ À a= (0 1 5 1 3), _ À b= (6 1 – 2 1 –1) c) _ À a= (2 1 – 2 1 3), _ À b= (3 1 – 6 1 –1) 9 . 28 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC! a) A = (0 1 0 1 0), B = (5 1 2 1 3), C = (2 1 2 1 –1) b) A = (3 1 1 1 –7), B = (0 1 5 1 3), C = (1 1 – 2 1 –1) L kompakt seite 181 S φ a b Ó lernapplet 5f7i3c φ a b φ a b a b L L a b L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv