Mathematik verstehen 6, Schulbuch

174 9 vektoren in R 3 Betrag eines vektors und einheitsvektoren 9 . 20 Der vektor _ À PQ= (a 1 1 a 2 1 a 3 ) ist als Pfeil von P nach Q dargestellt. Stelle eine Formel für die Länge dieses Pfeils auf! lösung: _ PF 2 = † a 1 † 2 + † a 2 † 2 _ PQ 2 = _ PF 2 + _ FQ 2 = † a 1 † 2 + † a 2 † 2 + † a 3 † 2 = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 _ PQ= 9 _______ a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 Überlege, dass diese Formel auch für a 1 = 0 oder a 2 = 0 oder a 3 = 0 gilt! Definition Unter dem Betrag des vektors _ À a= (a 1 1 a 2 1 a 3 ) * R 3 versteht man die reelle Zahl † _ À a † = 9 _______ a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 Geometrisch entspricht † _ À a † der Länge eines dem vektor _ À azugeordneten Pfeils. Wie in ℝ 2 kann man auch in ℝ 3 die folgenden beiden Sätze beweisen: satz Für alle _ À a * ℝ 3 und alle r * ℝ gilt: (1) † r · _ À a † = † r † · † _ À a † (2) † _ À a † 2 = _ À a 2 satz: Sind A und B zwei Punkte des Raumes, dann gilt für ihren Abstand: _ aB= † _ À aB † = † B – a † . Definition Ist _ À a≠ _ À oein vektor in ℝ 3 , dann heißt der vektor _ À a 0 = 1 _ † _ À a † · _ À ader zu _ À agehörige einheitsvektor. Merke : Der vektor _ À a 0 ist zu _ À aparallel, zu _ À agleich gerichtet und hat den Betrag 1. 9 . 21 vom Punkt P = (1 1 2 1 – 3) aus wird eine Strecke der Länge 12 in Richtung des vektors _ À a= (2 1 2 1 1) abgetragen. Ermittle die Koordinaten des zweiten Endpunkts Q dieser Strecke! lösung: Wir tragen den zu _ À agehörigen Einheitsvektor _ À a 0 von P aus 12-mal ab: Q = P + 12 · _ À a 0 = P + 12 · 1 _ † _ À a † · _ À a= (1 1 2 1 – 3) + 12 · 1 _ 3 · (2 1 2 1 1) = (9 1 10 1 1) auFgaben 9 . 22 Berechne die Seitenlängen des Dreiecks ABC! a) A = (2 1 0 1 4), B = (3 1 1 1 1), C = (1 1 –1 1 1) b) A = (3 1 – 2 1 – 2), B = (3 1 1 1 – 2), C = (4 1 0 1 –1) 9 . 23 Zeige, dass das Dreieck ABC für beliebige r, s * ℝ gleichseitig ist! Wähle dann konkrete Zahlen- werte für r und s und berechne die Seitenlängen dieses Dreiecks! a) A = (r 1 0 1 s), B = (s 1 r 1 0), C = (0 1 s 1 r) b) A = (r 1 s 1 0), B = (0 1 r 1 s), C = (r – s 1 r + s 1 s – r) 9 . 24 vom Punkt P aus wird eine Strecke der Länge d in Richtung des vektors _ À aabgetragen. Ermittle die Koordinaten des zweiten Endpunkts Q dieser Strecke! a) P = (7 1 3 1 – 2), d = 6, _ À a= (1 1 2 1 – 2) c) P = (5 1 0 1 0), d = 24, _ À a= (4 1 – 2 1 4) b) P = (4 1 3 1 6), d = 12, _ À a= (2 1 –1 1 2) d) P = (3 1 0 1 – 2), d = 9 · 9 _ 3, _ À a= (1 1 1 1 1) L kompakt seite 181 3. A. 1. A. 2. A. Q P |a 1 | |a 2 | |a 3 | F a 0 a L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv