Mathematik verstehen 6, Schulbuch

173 9 . 3 einFache anwendungen der vektorrechnung in der rÄuml ichen geometrie 9 . 3 einFache anwendungen der vektorrechnung in der rÄumlichen geometrie Mittelpunkte, schwerpunkte, teilungspunkte Wie in ℝ 2 kann man auch in ℝ 3 die folgenden Formeln herleiten: Mittelpunkt der strecke aB: M = 1 _ 2 · (a + B) schwerpunkt des Dreiecks aBC: s = 1 _ 3 · (a + B + C) teilungspunkte kann man ebenfalls wie in ℝ 2 ermitteln. auFgaben 9 .15 Berechne die Mittelpunkte der Seiten und den Schwerpunkt des Dreiecks ABC! a) A = (0 1 0 1 0), B = (6 1 4 1 0), C = (8 1 6 1 4) b) A = (3 1 9 1 – 5), B = (5 1 7 1 –7), C = (– 3 1 3 1 3) 9 .16 Ermittle den Punkt T auf der Strecke AB, der von A doppelt so weit entfernt ist wie von B! a) A = (2 1 1 1 0), B = (5 1 4 1 3) b) A = (– 2 1 3 1 5), B = (16 1 3 1 –7) 9 .17 Die Strecke AB wird in drei gleich lange Teile zerlegt. Berechne die Koordinaten der Teilungspunkte! a) A = (3 1 3 1 3), B = (6 1 6 1 9) b) A = (1 1 – 2 1 – 2), B = (10 1 13 1 – 5) Parallele und normale vektoren Wie in ℝ 2 definiert man in ℝ 3 : Zwei vom Nullvektor verschiedene vektoren _ À aund _ À bin ℝ 3 sind zueinander parallel , wenn die zugehörigen Pfeile zueinander parallel sind. Zwei vom Nullvektor verschiedene vektoren _ À aund _ À bin ℝ 3 sind zueinander normal ( orthogonal ), wenn die zugehörigen Pfeile zueinander normal sind. Wie in ℝ 2 kann man in ℝ 3 die folgenden beiden Sätze beweisen: satz (Parallelitätskriterium) Zwei vom Nullvektor verschiedene vektoren _ À a und _ À b in ℝ 3 sind genau dann zueinander parallel , wenn _ À b= r · _ À a mit r * ℝ * gilt. satz (orthogonalitätskriterium) Zwei vom Nullvektor verschiedene vektoren _ À a , _ À b * ℝ 3 sind genau dann zueinander normal , wenn _ À a· _ À b= 0 ist. auFgaben 9 .18 Kreuze an, was zutrifft! 9 .19 Gib einen vektor an, der auf den vektor _ À anormal steht! a) _ À a= (2 1 – 2 1 1) b) _ À a= (1 1 0 1 –1) c) _ À a= (0 1 0 1 8) d) _ À a= (7 1 – 2 1 5) e) _ À a= (2 1 1 1 9) R R R R Ó arbeitsblatt np2t5x _ À a _ À b _ À a u _ À b _ À a © _ À b weder _ À a u _ À bnoch _ À a © _ À b (4 1 – 6 1 2) (3 1 2 1 0) c c c (4 1 – 6 1 2) (– 2 1 3 1 –1) c c c (4 1 – 6 1 2) (2 1 3 1 2) c c c (7 1 5 1 7) (–7 1 – 6 1 7) c c c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv