Mathematik verstehen 6, Schulbuch

172 9 vektoren in R 3 auFgaben 9 . 07 Berechne den vektor _ À AB! a) A = (2 1 3 1 – 6), B = (7 1 7 1 5) d) A = (– 4 1 –7 1 0), B = (– 4 1 – 5 1 3) b ) A = (3 1 3 1 4), B = (– 4 1 – 2 1 – 2) e) A = (5 1 – 3 1 6), B = (– 3 1 7 1 5) c) A = (5 1 3 1 9), B = (9 1 7 1 – 5) f) A = (5 1 4 1 10), B = (–7 1 2 1 9) 9 . 08 Ein zum vektor _ À agehöriger Pfeil wird vom Punkt A aus r-mal abgetragen. Berechne den Endpunkt B! a) A = (1 1 2 1 1), _ À a= (2 1 1 1 7), r = 2 c) A = (–1 1 5 1 – 4), _ À a= (– 2 1 5 1 – 3), r = –1,5 b) A = (4 1 7 1 – 3), _ À a= (5 1 0 1 – 3), r = –1 d) A = (4 1 7 1 – 9), _ À a= (3 1 – 2 1 –1), r = – 3 9 . 09 Berechne den fehlenden Eckpunkt D des Parallelogramms ABCD! a) A = (2 1 3 1 – 6), B = (7 1 7 1 5), C = (4 1 4 1 4) c) A = (– 4 1 – 2 1 – 3), B = (1 1 – 3 1 5), C = (3 1 6 1 7) b) A = (1 1 0 1 9), B = (5 1 4 1 7), C = (3 1 –1 1 5) d) A = (0 1 0 1 2), B = (3 1 3 1 3), C = (0 1 5 1 6) 9 .10 Berechne die fehlenden Eckpunkte des Quaders mit der Grundfläche ABCD und der Deckfläche EFGh! a) A = (0 1 0 1 0), B = (3 1 1 1 2), D = (1 1 –1 1 –1), E = (1 1 5 1 – 4) b) A = (1 1 1 1 1), B = (5 1 5 1 3), C = (7 1 5 1 –1), E = (–15 1 21 1 –7) 9 .11 Ein Parallelepiped ist ein vierseitiges (eventuell schiefes) Prisma, dessen Begrenzungsflächen lauter Parallelogramme sind (siehe Abbildung). von einem Parallelepiped kennt man die folgenden Eckpunkte. Berechne die Koordinaten der restlichen Eckpunkte! a) A = (–1 1 2 1 – 5), B = (1 1 7 1 – 4), E = (3 1 0 1 3), G = (1 1 6 1 7) b) B = (7 1 – 4 1 5), C = (10 1 1 1 3), D = (4 1 3 1 2), h = (6 1 0 1 12) 9 .12 In einem Parallelepiped ABCDEFGh ist _ À a= _ À AB, _ À b= _ À ADund _ À c= _ À AE. 1) Drücke die Raumdiagonalvektoren _ À AG, _ À hB, _ À CEund _ À FDdurch _ À a, _ À bund _ À caus! 2) Zeige: Die Summe dieser Raumdiagonalvektoren ist der Nullvektor. 9 .13 Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Würfel mit der Kantenlänge 6, dessen Eckpunkt A im Ursprung des Koordinatensystems liegt. a) Gib die Koordinaten aller Würfeleckpunkte an! b) verschiebe den Würfel so, dass der Würfelmittelpunkt M im Punkt M 1 = (4 1 1 1 6) zu liegen kommt! Welche Koordinaten haben die einzelnen Eckpunkte dann? 9 .14 Eine gerade quadratische Pyramide mit der Grundkantenlänge a und der höhe h hat die Spitze S. Die Eckpunkte A, B, C und D der Grundfläche sind nicht eindeutig bestimmt. Gib eine Möglichkeit für die Wahl der Koordinaten von A, B, C und D an! a) S = (2 1 2 1 5), a = 4, h = 5 b) S = (0 1 0 1 6), a = 6, h = 4 c) S = (5 1 5 1 5), a = 2, h = 8 R A E F G h B C D A E F G h B C D c a b A E F G h B C D 3. A. 1. A. 2. A. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv