Mathematik verstehen 6, Schulbuch

170 9 vektoren in R 3 9 . 2 geometrische Darstellung von vektoren in R 3 Darstellung von vektoren in R 3 als Punkte oder Pfeile im raum Ein Koordinatensystem im raum wird von drei paarweise aufeinander normal stehenden Zahlen geraden gebildet, die den Nullpunkt O miteinander gemeinsam haben. Analog zu ℝ 2 kann man vektoren aus ℝ 3 (Zahlentripel) als Punkte oder Pfeile in einem fixen räumlichen Koordinaten system darstellen. Darstellung von (a 1 1 a 2 1 a 3 ) als Punkt Man erhält den zugehörigen Punkt A als Eckpunkt eines Quaders oder indem man den grün eingezeichneten Pfeilen folgt. Darstellung von (a 1 1 a 2 1 a 3 ) als Pfeil Man wählt einen beliebigen Anfangspunkt im Raum und bewegt sich dann je nach vorzeichen – um a 1 in Richtung bzw. Gegenrichtung der 1. Achse, – um a 2 in Richtung bzw. Gegenrichtung der 2. Achse, – um a 3 in Richtung bzw. Gegenrichtung der 3. Achse. Dann verbindet man den Anfangspunkt mit dem Endpunkt. Ist a 1 = 0, a 2 = 0 oder a 3 = 0, so entfällt die entsprechende Bewegung. Da man den Anfangspunkt beliebig wählen darf, kann man dem Zahlentripel (a 1 1 a 2 1 a 3 ) unendlich viele Pfeile zuordnen; diese sind aber alle gleich lang , parallel und gleich gerichtet . In nebenstehender Abbildung ist das Zahlentripel (2 1 –1 1 3) durch einige Pfeile im Raum dargestellt. Der Nullvektor aus ℝ 3 , dh. das Zahlentripel (0 1 0 1 0), entspricht bei der Punktdarstellung dem Ursprung o des Koordinatensystems, bei der Pfeildarstellung einem Nullpfeil mit beliebigem Anfangspunkt. Dieser hat die Länge 0, man kann ihm aber keine Richtung zuschreiben. Zusammenfassend lässt sich sagen: Jedem vektor aus ℝ 3 (Zahlentripel) entspricht genau ein Punkt des Raumes. Umgekehrt entspricht jedem Punkt des Raumes genau ein vektor aus ℝ 3 (Zahlentripel). Jedem vektor aus ℝ 3 (Zahlentripel) entsprechen unendlich viele Pfeile des Raumes, die alle gleich lang und (vom Nullvektor abgesehen) auch parallel und gleich gerichtet sind. Umgekehrt entspricht jedem Pfeil des Raumes genau ein vektor aus ℝ 3 (Zahlentripel). Die Bezeichnung von vektoren aus ℝ 3 erfolgt wie in ℝ 2 . Wird ein vektor als Punkt gedeutet, so bezeichnen wir ihn mit A, B, C, … Wird ein vektor als Pfeil gedeutet, so bezeichnen wir ihn mit _ À a, _ À b, _ À c, … oder _ À AB, _ À PQ, … . Den Nullvektor (0 1 0 1 0) bezeichnen wir bei der Deutung als Punkt (Ursprung des Koordinaten systems) mit O, bei der Deutung als Nullpfeil mit _ À o. Wird ein vektor A aus ℝ 3 geometrisch als Punkt dargestellt, so beschriften wir auch den Punkt mit A. Wird ein vektor _ À aaus ℝ 3 geometrisch durch Pfeile dargestellt, so beschriften wir jeden dieser Pfeile mit _ À a. R kompakt seite 181 0 A 3. A. 2. A. 1. A. a 3 a 1 a 2 3. A. a 1 a 2 a 3 1. A. 2. A. a 3. A. 1. A. 2. A. 3 2 – 1 a a a a a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv