Mathematik verstehen 6, Schulbuch

169 9 .1 vektoren in R 3 Ein Zahlentripel (a 1 1 a 2 1 a 3 ) bezeichnet man auch als vektor mit den Koordinaten a 1 , a 2 , a 3 oder als vektor aus R 3 . Beispielsweise gilt (2 1 – 5 1 3) * ℝ 3 . Wie bei Zahlenpaaren sieht man auch zwei Zahlentripel dann als gleich an, wenn sie dieselben Zahlen in derselben Reihenfolge enthalten. Die Rechenoperationen für Zahlentripel sind zu jenen für Zahlenpaare analog, es kommt lediglich jeweils eine dritte Koordinate hinzu: Definition (summe, Differenz und vielfache für vektoren aus R 3 ) Es seien A = 2 a 1 a 2 a 3 3 , B = 2 b 1 b 2 b 3 3 vektoren aus ℝ 3 und r * ℝ . Man setzt: a + B = 2 a 1 a 2 a 3 3 + 2 b 1 b 2 b 3 3 = 2 a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 3 , a – B = 2 a 1 a 2 a 3 3 – 2 b 1 b 2 b 3 3 = 2 a 1 – b 1 a 2 – b 2 a 3 – b 3 3 , r · a = r · 2 a 1 a 2 a 3 3 = 2 r · a 1 r · a 2 r · a 3 3 Wie in ℝ 2 definiert man: Der vektor O = (0 1 0 1 0) heißt Nullvektor in ℝ 3 . Ist A = (a 1 1 a 2 1 a 3 ) * ℝ 3 , dann heißt der vektor –A = (– a 1 1 – a 2 1 – a 3 ) der gegenvektor von a oder der zu a inverse vektor . Definition (skalarprodukt für vektoren in R 3 ) Es seien A, B * ℝ 3 . Die reelle Zahl a · B = 2 a 1 a 2 a 3 3 · 2 b 1 b 2 b 3 3 = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + a 3 · b 3 heißt skalares Produkt bzw. skalarprodukt der vektoren A und B. Für vektoren in ℝ 3 gelten analoge Rechengesetze wie für vektoren in ℝ 2 . Diese kann man wie in ℝ 2 begründen, indem man die Rechnungen für die einzelnen Koordinaten getrennt aufschreibt. Man kann also mit vektoren in ℝ 3 im Prinzip so rechnen wie mit vektoren in ℝ 2 . auFgaben 9 . 01 Berechne die Summe und die Differenz der vektoren A und B! a) A = (1 1 0 1 3), B = (2 1 2 1 4) b) A = (– 2 1 7 1 – 3), B = (– 2 1 – 2 1 4) 9 . 02 Berechne das r-fache des vektors A und den Gegenvektor zu A! a) A = (1 1 –1 1 3), r = 2 b) A = (– 2 1 0 1 5), r = 0,5 c) A = (3 1 –7 1 – 5), r = – 2 9 . 03 Berechne die Summe und die Differenz der vektoren A und B, das r-fache des vektors A, das r-fache des vektors B, den Gegenvektor zu A und den Gegenvektor zu r · B! a) A = (a 1 2a 1 a), B = (2a 1 0 1 3a), r = 3 b) A = (– 2 + a 1 2a 1 –3a), B = (a 1 a 1 a), r = – 3 9 . 04 A = (3 1 1 1 –1), B = (4 1 0 1 3), C = (– 2 1 1 1 1), D = (6 1 6 1 5), E = (–1 1 – 4 1 – 2), F = (–1 1 7 1 5). Berechne: a) 2 · A + (B + C) – (D – E) + F b) 2 · A + (A + C) – (D – A) + (D + C) – A 9 . 05 Berechne das Skalarprodukt der vektoren A und B! a) A = (2 1 3 1 –1), B = (7 1 –1 1 9) b) A = (5 1 5 1 – 8), B = (6 1 1 1 3) c) A = (5 1 – 2 1 –1), B = (1 1 3 1 5) 9 . 06 Berechne das Skalarprodukt der vektoren A und B! a) A = (a 1 a 1 a), B = (b 1 b 1 b) b) A = (x 1 y 1 xy), B = (y 1 x 1 1) c) A = (a 1 2a 1 – a), B = (– a 1 a 1 3a) kompakt seite 181 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv