Mathematik verstehen 6, Schulbuch

162 8 reihen regelmäßige jährliche einzahlungen 8 . 22 Herr Pichler zahlt zu jedem Jahresbeginn 1 000€ auf ein Konto ein und erhält 0,8% Zinsen pro Jahr. Über welchen Betrag kann er am Ende des 10. Jahres nach KESt-Abzug verfügen? lösung: effektiver Zinssatz p eff = 0,75 · 0,8% = 0,6%. jährlicher Aufzinsungsfaktor: q = 1,006 Wir veranschaulichen die Einzahlungen durch eine Zeitleiste: Die 1. Einzahlung wird 10 Jahre lang, die 2. Einzahlung 9 Jahre lang, …, die 10. und letzte Einzahlung 1 Jahr lang verzinst. Wir erhalten das Guthaben K 10 am Ende des 10. Jahres durch Addition der aufgezinsten Einzahlungen und beginnen mit der letzten Einzahlung: K 10 = 1000 · q + 1 000 · q 2 + … + 1 000 · q 10 Das ist eine geometrische Reihe mit 10 Gliedern, dem Anfangsglied b 1 = 1000 · q und dem Quotienten q. Somit gilt: K 10 = 1 000 · q · q 10 – 1 _ q – 1 ≈ 10336,01 (€) aufgaben 8 . 23 Jemand zahlt stets zu Jahresbeginn fünfmal hintereinander 1 000€ und dann noch dreimal hintereinander 800€ auf ein mit 0,7% effektiv verzinstes Konto. Welches Guthaben besitzt er 10 Jahre nach der ersten Einzahlung? regelmäßige monatliche einzahlungen Definition Liefert in gleichen Zeiträumen die jährliche verzinsung eines Kapitals K 0 mit dem Aufzinsungs- faktor q dasselbe Guthaben wie die monatliche verzinsung des Kapitals K 0 mit dem Aufzinsungs- faktor q m , so nennt man die aufzinsungsfaktoren q und q m äquivalen t. 8 . 24 Ein Kapital K 0 wird jährlich mit dem Aufzinsungsfaktor q verzinst. Ermittle den zu q äquivalenten monatlichen Aufzinsungsfaktor q m ! lösung: Zum Jahresende muss gelten: K 0 · q = K 0 · q m 12 . Daraus folgt: q m = 12 9 _ q. Merke Einem jährlichen aufzinsungsfaktor q entspricht der äquivalente monatliche aufzinsungsfaktor q m = 12 9 _ q. 8 . 25 Frau Pichler überweist ab Jahresbeginn an jedem Monatsersten 200€ auf ein Konto und erhält 2% Zinsen pro Jahr. Über welchen Betrag kann sie am Ende des 4. Jahres nach KESt-Abzug verfügen? lösung: effektiver Zinssatz p eff = 0,75 · 2% = 1,5%. jährlicher Aufzinsungsfaktor: q = 1, 015 monatlicher Aufzinsungsfaktor: q m = 12 9 ___ 1,015 L 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Jahr L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv