Mathematik verstehen 6, Schulbuch

159 8 . 3 anWendungen von Folgen und reihen auf Probleme der F inanzmathemat ik 8 . 3 anWendungen von Folgen und reihen auf Probleme der Finanzmathematik zinseszinsen 8 .14 Jemand legt zu Jahresbeginn ein Kapital von K 0 Euro auf ein jährlich mit p% verzinstes Spar- buch. Wie groß ist der Kontostand am Ende des ersten, zweiten, dritten, …, n-ten Jahres? lösung: Wir bezeichnen den Kontostand am Ende des n-ten Jahres mit K n . K 1 = K 0 + p% von K 0 = K 0 + p _ 100 · K 0 = K 0 · 2 1 + p _ 100 3 K 2 = K 1 + p% von K 1 = K 1 + p _ 100 · K 1 = K 1 · 2 1 + p _ 100 3 = K 0 · 2 1 + p _ 100 3 2 K 3 = K 2 + p% von K 2 = K 2 + p _ 100 · K 2 = K 2 · 2 1 + p _ 100 3 = K 0 · 2 1 + p _ 100 3 3 … K n = K 0 · 2 1 + p _ 100 3 n Bei der letzten Aufgabe handelt es sich um eine zinseszins-rechnung , weil die Zinsen am Ende eines jeden Jahres zu dem zu Beginn des Jahres vorhandenen Kapital dazugeschlagen und im darauf folgenden Jahr mitverzinst werden. Man bezeichnet p _ 100 = p% als jährlichen zinssatz und q = 1 + p _ 100 als jährlichen aufzinsungsfaktor. Ein jährlicher Zinssatz wird oft in der Form p% p. a. (pro anno) angegeben. Wir halten fest: zinseszinsformel (für volle Jahre) Wird ein Kapital K 0 mit p% jährlich verzinst, so beträgt das Kapital K n nach n Jahren: K n = K 0 · 2 1 + p _ 100 3 n = K 0 · q n 2 mit q = 1 + p _ 100 3 Zum Leidwesen aller Sparer muss ein Teil des Zinsertrages als Kapitalertragsteuer (kurz KESt) an das Finanzamt abgeliefert werden. Diese beträgt derzeit (Stand 2017) 25%, dh. 25% der vereinbarten Zinsen (Bruttozinsen) gehen an den Staat und nur 75% werden effektiv dem Sparer gutgeschrieben. Die verbleibenden Zinsen nennt man die effektiven Zinsen , den zugehörigen Zinssatz p eff % = 0,75 · p% nennt man den effektiven Zinssatz . 8 .15 Ein Geldbetrag von 20000€ wird für 10 volle Kalenderjahre zu 2,5% p. a. angelegt. Welchen Guthabenstand erreicht der Sparer, wenn a) keine KESt berücksichtigt wird, b) wenn die KESt berücksichtigt wird? lösung: 1) K 10 = 20000 · 1,025 10 ≈ 25601,69 (€) 2) Da dem Sparer nur 75% des Zinsertrags tatsächlich gutgeschrieben werden, erhält er nur den effektiven Jahreszinssatz 0,75 · 2,5% = 1,875%. Nach 10 Jahren beträgt sein Guthaben daher: K 10 = 20000 · 1,01875 10 ≈ 24082,76 (€) L kompakt seite 165 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv