Mathematik verstehen 6, Schulbuch

157 8 . 2 Unendl iche reihen Die summe einer unendlichen geometrischen reihe Unendliche arithmetische Reihen mit Ausnahme der Reihe 0 + 0 + 0 + 0 + … sind stets divergent. Unendliche geometrische Reihen jedoch können für bestimmte Werte des Quotienten q konvergent sein, wie der folgende Satz zeigt (Beweis im Anhang auf Seite 285): satz Besitzt eine unendliche geometrische reihe b 1 + b 2 + b 3 + … den Quotienten q mit † q † < 1 , dann gilt für ihre Summe S: s = b 1 · 1 _ 1 – q 8 . 06 Die nebenstehende Wellenlinie entsteht durch unendlich oftmaliges Aneinanderfügen von Halbkreisen, wobei ab dem zweiten Halbkreis jeder Halbkreisdurchmesser nur 2 _ 3 des voran- gehenden Durchmessers ausmacht. Wie lang ist die gesamte Wellenlinie, wenn der erste Durchmesser 6mm beträgt? lösung: Länge des 1. Halbkreises = 3 π Länge des 2. Halbkreises = 3 π · 2 _ 3 Länge des 3. Halbkreises = 3 π · 2 2 _ 3 3 2 … Länge des n-ten Halbkreises = 3 π · 2 2 _ 3 3 n – 1 … Gesamtlänge der Wellenlinie: S = 3 π + 3 π · 2 _ 3 + 3 π · 2 2 _ 3 3 2 + … Es liegt eine unendliche geometrische Reihe mit b 1 = 3 π und q = 2 _ 3 vor. Wegen † q † < 1 gilt für die Gesamtlänge der Wellenlinie: S = 3 π _ 1 – 2 _ 3 = 9 π ≈ 28,27. aufgaben 8 . 07 Ist die folgende geometrische Reihe konvergent? Wenn ja, gib ihre Summe an! a) 1 + 2 + 2 2 + … c) 1 + 2 – 1 _ 2 3 + 2 – 1 _ 2 3 2 + … e) 3 + 3 · 1 _ 4 + 3 · 2 1 _ 4 3 2 + … b) 1 + 1 _ 2 + 2 1 _ 2 3 2 + … d) 1 + (–1) + (–1) 2 + … f) 5 – 5 · 0,1 + 5 · 0,1 2 – 5 · 0,1 3 + … 8 . 08 Ein Gummiball fällt lotrecht aus 1m Höhe, steigt nach dem Auftreffen auf dem Boden wieder bis zur Höhe von 0,8m auf, steigt nach dem nächsten Auftreffen auf dem Boden bis zur Höhe von 0,64m auf, usw. Die Sprunghöhen des Gummiballs bilden dabei eine geometrische Folge. Wie lang ist der Weg, den der Ball bis zum „Stillstand“ insgesamt zurücklegt? 8 . 09 Die nebenstehend abgebildete Spirale entsteht durch unendlich oftmaliges Aneinanderfügen von Halbkreisen, wobei ab dem zweiten Durchmesser jeder Durchmesser vier Fünftel des vorhergehenden Durchmessers ausmacht. Der erste Durchmesser beträgt 10 cm. 1) Wie groß ist die Gesamtlänge der Spirale? 2) Der rechte Endpunkt der Spirale nähert sich unbegrenzt einem Punkt E. Wie weit ist E von A entfernt? L Ó applet n2j354 A E L A E Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv