Mathematik verstehen 6, Schulbuch

156 8 reihen 8 . 2 Unendliche reihen Die summe einer unendlichen reihe Einer endlichen Folge (a 1 , a 2 , …, a n ) kann man eine Summe a 1 + a 2 + … + a n zuordnen. Kann man auch einer unendlichen Folge (a 1 , a 2 , a 3 , …) eine Summe a 1 + a 2 + a 3 + … zuordnen? In manchen Fällen ergibt dies offensichtlich keinen Sinn. Zum Beispiel wächst die unendliche Reihe 1 + 2 + 3 + … über alle Schranken und besitzt sicher keine endliche Summe. Hingegen kann man der nebenstehenden Abbildung entnehmen, dass gilt: 1 _ 2 + 1 _ 4 + 1 _ 8 + … = 1 Wie kann man die unendlichen Reihen beschreiben, die eine endliche Summe besitzen? Wir betrachten dazu die teilsummen (Partialsummen) der Reihe a 1 + a 2 + a 3 + …: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3 … S n = a 1 + a 2 + … + a n Strebt die Folge (S n ‡ n * ℕ *) der Teilsummen gegen einen Grenzwert S, so liegt es nahe, diesen als summe der reihe zu bezeichnen. Definition Sei a 1 + a 2 + a 3 + … eine unendliche Reihe. Ist die Folge (S n ‡ n * ℕ *) der Teilsummen der Reihe konvergent, so nennt man auch die Reihe konvergent . Ist lim n ¥ • s n = s , so nennt man S die summe der reihe und schreibt: a 1 + a 2 + a 3 + … = S Ist die Folge (S n ‡ n * ℕ *) der Teilsummen der Reihe divergent, so nennt man auch die Reihe divergent . Einer divergenten Reihe wird keine Summe zugeschrieben. Der folgende Satz wird gelegentlich gebraucht. Er besagt im Wesentlichen, dass man auch aus einer Summe von unendlich vielen Gliedern einen gemeinsamen Faktor herausheben darf. satz Ist die Reihe a 1 + a 2 + a 3 + … konvergent und c * ℝ , so ist auch die Reihe c · a 1 + c · a 2 + c · a 3 + … konvergent und es gilt: c · a 1 + c · a 2 + c · a 3 + … = c · (a 1 + a 2 + a 3 + …) BeWeis : c · a 1 + c · a 2 + c · a 3 + … = lim n ¥ • (c · a 1 + c · a 2 + … + c · a n ) = = lim n ¥ • [c · (a 1 + a 2 + … + a n )] = = c · lim n ¥ • (a 1 + a 2 + … + a n ) = c · (a 1 + a 2 + a 3 + …) c L 1 1 4 1 16 1 8 1 2 1 kompakt seite 165 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv