Mathematik verstehen 6, Schulbuch

155 8 .1 endl iche reihen aufgaben 8 . 01 Berechne die Summe der folgenden Reihe! a) 1 + 2 + 3 + 4 + … + 11 e) 0,5 + 1 + 1,5 + … + 20 i) 4 + 6 + 8 + 10 + … + 88 b) 1 + 3 + 5 + 7 + … + 23 f) 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 j) 5 + 5,4 + 5,8 + … + 9 c) 1 + 4 + 7 + … + 25 g) (–1) + (– 2) + (– 3) + … + (–20) k) 8 + 9,5 + 11 + … + 18,5 d) 1 + 11 + 21 + …+ 91 h) (– 2) + (– 4) + (– 6) + … + (–18) l) 6 + 8,2 + 10,4 + … + 25,8 lösung zu b) : Die Differenz der arithmetischen Folge beträgt 2. Die Gliederanzahl der Reihe kann man durch Abzählen oder so ermitteln: 23 = 1 + (n – 1) · 2 w n = 12; S = 12 _ 2 · (1 + 23) = 144 8 . 02 Berechne die Summe der a) ersten 1 000 geraden Zahlen in ℕ *, c) ersten 900 natürlichen vielfachen von 3 in ℕ *, b) ersten 500 ungeraden Zahlen in ℕ *, d) Zahlen –10, – 20, – 30, …, –1 000! 8 . 03 Zeige für n * ℕ *: a) 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) __ 2 b) 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1) Die summe einer endlichen geometrischen reihe Ist die Folge (b 1 , b 2 , …, b n ) eine endliche geometrische Folge, so bezeichnet man die zugehörige Reihe b 1 + b 2 + … + b n als endliche geometrische reihe . Für die Summe einer solchen Reihe gilt der folgende Satz (Beweis im Anhang auf Seite 285): satz Ist b 1 + b 2 + … + b n eine endliche geometrische reihe mit n Gliedern und dem Quotienten q ≠ 1, so gilt für ihre Summe S: s = b 1 · q n – 1 _ q – 1 Beachte : Für † q † < 1 ist es besser, die Summenformel so anzuschreiben: S = b 1 · 1 – q n _ 1 – q Beispiele : 1) S = 3 + 3 · 2 + 3 · 2 2 + 3 · 2 3 + … + 3 · 2 8 = ? Es liegt eine geometrische Reihe mit b 1 = 3, q = 2, n = 9 vor, daher gilt: S = 3 · 2 9 – 1 _ 2 – 1 = 1 533 2) S = 1 + 1 _ 2 + 2 1 _ 2 3 2 + 2 1 _ 2 3 3 + 2 1 _ 2 3 4 = ? Es liegt eine geometrische Reihe mit b 1 = 1, q = 1 _ 2 , n = 5 vor, daher gilt: S = 1 – 2 1 _ 2 3 5 _ 1 – 1 _ 2 = 1 – 1 _ 32 _ 1 _ 2 = 62 _ 32 = 31 _ 16 aufgaben 8 . 04 Berechne die Summe der folgenden Reihe! a) 1 + 2 + 4 + 8 + … + 1 024 d) 4 + 4 · 5 + 4 · 5 2 + … + 4 · 5 10 b) 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + … + 3 10 e) 10 + 10 · 1,1 + 10 · 1,1 2 + … + 10 · 1,1 5 c) 1 + 0,2 + 0,2 2 + … + 0,2 5 f) 0,4 + 0,4 · 0,2 + 0,4 · 0,2 2 + 0,4 · 0,2 3 8 . 05 Schreibe die Folge in der Form (b 1 , b 2 , …, b n ) an und berechne die Summe ihrer Glieder! a) (3 · 2 i † i = 1, 2, …, 7) b) ((– 3) · 4 i † i = 1, 2, …, n) L L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv