Mathematik verstehen 6, Schulbuch

154 8 REIhEN lerNz iele 8 .1 summen endlicher arithmetischer und geometrischer reihen berechnen können. 8 . 2 summen unendlicher reihen definieren und für geometrische Reihen berechnen können. 8 . 3 anwendungen unendlicher reihen auf Probleme der Finanzmathematik kennen. 8 . 4 stetige verzinsung und die Definition der euler’schen zahl e als Grenzwert einer Folge kennen. technologie kompakt Kompetenzcheck grUNDKoMPeteNzeN endliche arithmetische und geometrische reihen kennen und ihre summen berechnen können. Den Begriff der summe einer unendlichen reihe definieren können. summen konvergenter geometrischer reihen berechnen können. Folgen und reihen zur Beschreibung diskreter Prozesse in anwendungsorientierten Bereichen einsetzen können. 8 .1 endliche reihen Die summe einer endlichen arithmetischen reihe Ist (a 1 , a 2 , … , a n ) eine endliche Folge, so bezeichnet man den Ausdruck a 1 + a 2 + … + a n als die zu dieser Folge gehörige endliche reihe . Die Summe S der Folgenglieder a 1 , a 2 , … a n nennt man die summe der reihe und schreibt a 1 + a 2 + … + a n = s . Ist die Folge (a 1 , a 2 , …, a n ) eine endliche arithmetische Folge, so bezeichnet man die zugehörige Reihe a 1 + a 2 + … + a n als endliche arithmetische reihe . Beispiel : vom großen Mathematiker Carl Friedrich gauss (1777–1855) wird erzählt, dass er als volksschüler von seinem Lehrer die Aufgabe erhielt, die natürlichen Zahlen von 1 bis 100 zusammenzuzählen, dh. die Summe der arithmetischen Reihe 1 + 2 + … + 100 zu berechnen. Während seine Mitschüler beträchtliche Zeit mit den fortlaufenden Additionen verbrachten, legte Gauß zum Erstaunen seines Lehrers schon nach wenigen Minuten das richtige Ergebnis 5050 vor. Er ging nämlich schlau vor und fasste die Summanden zu Teilsummen zusammen: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, …, 50 + 51 = 101 Insgesamt ergibt sich die Summe 50 · 101 = 5050. Allgemein kann man mit dieser Methode zeigen (Beweis im Anhang auf Seite 284): satz: Ist a 1 + a 2 + … + a n eine endliche arithmetische reihe , so gilt für ihre Summe S: s = n _ 2 · (a 1 + a n ) Beispiel : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 8 _ 2 · (1 + 15) = 64 Fa- l 8 .1 Fa- l 8 . 2 Fa- l 8 . 3 Fa- l 8 . 4 L kompakt seite 165 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv