Mathematik verstehen 6, Schulbuch

143 7. 5 rekursive Darstellung von Folgen Tigerlilie: 3 Butterblume: 5 Silberwurz: 8 Sonnenhut: 13 Margerite: 21 Gänseblümchen finden sich mit 13, 21, 34, 55 oder 89 Blütenblättern. Auch bei genauer Betrachtung eines Tannenzapfens kann man Fibonacci- Zahlen finden. Die Schuppen eines solchen Zapfens sind in links- und rechtslaufenden Spiralen angeordnet. Die Anzahl dieser Spiralen hängt zwar von der Nadelholzart ab, ist aber immer eine Fibonacci-Zahl. Die Fibonacci-Folge hat so viele interessante Eigenschaften und Anwendungen, dass es sogar eine eigene Zeitschrift gibt, das Fibonacci-Quarterly , in der ausschließlich Beiträge publiziert werden, die mit der Fibonacci-Folge zusammenhängen. Für die Fibonacci-Folge kann man eine Termdarstellung angeben: Fibonacci-Folge: ​ f​ n ​= ​ ​ 2 ​ 1 + ​ 9 _ 5​ _ 2 ​ 3 ​ n ​– ​ 2 ​ 1 – ​ 9 _ 5​ __ 2 ​ 3 ​ n ​ ___ ​ 9 _ 5​ ​ Das Überraschende an dieser Termdarstellung ist, dass sie trotz des vorhandenseins von Wurzeln für jedes n * N eine natürliche Zahl f n liefert. Überprüfe für einige Werte von n, dass sich tatsächlich die Glieder der Fibonacci-Folge ergeben! aufgaben 7. 44 Berechne die ersten 10 Glieder der Folge (x n ‡ n * N )! a) x 0 = 1, x 1 = –1 und x n = x n – 1 – x n – 2 für n = 2, 3, 4, … b) x 0 = 0, x 1 = 2 und x n = x n – 1 – 2x n – 2 für n = 2, 3, 4, … c) x 0 = 1, x 1 = 1 und x n = x n – 1 + x n – 2 + 2 für n = 2, 3, 4, … d) x 0 = 1, x 1 = 1, x 2 = 1 und x n = x n – 1 + x n – 2 + x n – 3 für n = 3, 4, 5, … 7. 45 Gib die ersten fünf Glieder der Folge an, die folgendermaßen definiert ist: Die ersten beiden Glieder sind 2 und 3. Jedes weitere Glied erhält man, indem man die beiden vorangehenden Glieder addiert, diese Summe durch 2 dividiert und davon 1 abzieht. 7. 46 Für die Folge (x​ ​ n ​ ‡ n * ℕ ) gilt: ​x​ 0 ​= 2, ​x​ 1 ​= 3 und ​x​ n ​= ​x​ n – 1 ​· ​x​ n – 2 ​ für n = 2, 3, 4, … Berechne die ersten 7 Glieder und begründe, warum alle Glieder mit n º 2 gerade sind! 7. 47 Schreibe die ersten 13 Zahlen der Fibonacci-Folge an und schreibe unter jede Zahl ein g bzw. u, wenn die Zahl gerade bzw. ungerade ist. Begründe, dass auf eine gerade Zahl immer zwei ungerade Zahlen und dann wieder eine gerade Zahl folgen müssen! 7. 48 Wir stehen vor einer Treppe mit vielen Stufen. Die Stufe 1 muss auf jeden Fall betreten werden. Danach steht es einem frei, ob man die nächste oder die übernächste Stufe betritt. Es sei f n die Anzahl der Möglichkeiten, die Stufe n zu erreichen. Zeige, dass die GIieder f n eine Fibonacci-Folge mit n º 1 bilden! L Stufe 1 Stufe 2 Stufe 3 Stufe 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv