Mathematik verstehen 6, Schulbuch

142 7 Folgen Fibonacci-Folgen In den bisherigen rekursiven Darstellungen konnte man jedes Glied aus dem jeweils vorangehenden Glied berechnen. Rekursionsgleichungen können aber komplizierter aussehen. Es kann vorkommen, dass jedes Glied aus den beiden vorangehenden oder sogar aus mehreren vorangehenden Gliedern berechnet wird. 7. 43 Die folgende, etwas unrealistische, aber interessante „Kaninchenaufgabe“ geht auf leonardo von Pisa (genannt Fibonacci , ca. 1170 – ca. 1250) zurück: Angenommen, ein Kaninchenpaar (Männchen und Weibchen) bekommt jeweils nach 2 Monaten ein weiteres Kaninchenpaar (Männchen und Weibchen) als Nachwuchs. 1) Wie viele Kaninchenpaare sind nach 1, 2, 3, 4, 5 bzw. 6 Monaten vorhanden, wenn zu Beginn 1 Kaninchenpaar vorhanden ist (und kein Kaninchen stirbt)? 2) Wie kann man die Anzahl der Kaninchenpaare nach n Monaten berechnen? lösung: 1) Wir stellen jedes Kaninchenpaar durch einen kleinen Kreis dar. Jedes Elternpaar verbinden wir durch eine Strecke mit dem (2 Monate später geborenen) Jungenpaar. 2) Wir bezeichnen die Anzahl der Kaninchenpaare nach n Monaten mit f n . Am Ende des n-ten Monats sind einerseits die f n – 1 Paare vom Ende des (n – 1)-ten Monats vorhanden sowie andererseits die f n – 2 Nachwuchspaare der Paare vom Ende des (n – 2)-ten Monats. Somit gilt: f n = f n – 1 + f n – 2 . Ausgehend von f 1 = 1 und f 2 = 1 kann man damit alle Anzahlen f n berechnen. Die Gleichung f n = f n – 1 + f n – 2 gilt auch noch, wenn wir das Glied f 0 = 0 hinzunehmen. Wir erhalten so insgesamt eine rekursive Darstellung einer Folge (f n ‡ n * N ), die man als Fibonacci-Folge bezeichnet. Fibonacci-Folge: f 0 = 0, f 1 = 1 und ​ f​ n ​= ​f​ n – 1 ​+ ​f​ n – 2 ​ für n = 2, 3, 4, … Ausgehend von den beiden ersten Gliedern kann man die weiteren Glieder dieser Folge einfach berechnen, indem man jeweils die beiden vorangehenden Glieder addiert. Man erhält die Folge: (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …) Man bezeichnet die Glieder dieser Folge als Fibonacci-zahlen . Die Fibonacci-Folge ist aus zwei Gründen berühmt geworden. Erstens besitzt sie eine Fülle von interessanten Eigenschaften und tritt in vielen Teilgebieten der Mathematik auf. Zweitens findet man überraschenderweise Fibonacci-Zahlen auch in der Natur. Untersucht man etwa die Anzahl der Blütenblätter von Blumen, so zählt man in vielen Fällen eine Fibonacci-Zahl: L Ende 1. Monat Anzahl der Paare 1 Ende 2. Monat 1 Ende 3. Monat 2 Ende 4. Monat 3 Ende 5. Monat 5 Ende 6. Monat 8 leonardo von Pisa , genannt Fibonacci (ca. 1170 – ca. 1250) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv