Mathematik verstehen 6, Schulbuch

141 7. 5 rekursive Darstellung von Folgen 7. 5 rekursive Darstellung von Folgen termdarstellung und rekursive Darstellung Beispiel 1 : Gegeben ist die arithmetische Folge mit dem Anfangsglied a 0 = 2 und der Differenz k = 5. Wir stellen die ersten vier Glieder auf zwei verschiedene Arten dar: 1. art: a 0 = 2 2. art: a 0 = 2 a 1 = 2 + 5 = 7 a 1 = a 0 + 5 = 7 a 2 = 2 + 2 · 5 = 12 a 2 = a 1 + 5 = 12 a 3 = 2 + 3 · 5 = 17 a 3 = a 2 + 5 = 17 Allgemein: Allgemein: a n = 2 + n · 5 für n = 0, 1, 2, … a 0 = 2 und a n + 1 = a n + 5 für n = 0, 1, 2, … Die Berechnung auf die erste Art liefert die uns schon bekannte termdarstellung einer arithmetischen Folge. Die Berechnung auf die zweite Art liefert eine so genannte rekursive Darstellung . Mit hilfe der rekursionsgleichung a n + 1 = a n + 5 kann man jeweils aus a n den nächsten Wert a n + 1 berechnen, wobei man vom anfangswert a 0 = 2 ausgeht. Beispiel 2 : Gegeben ist die geometrische Folge mit dem Anfangsglied b 0 = 3 und dem Quotienten q = 2. Wir stellen die ersten vier Glieder auf zwei verschiedene Arten dar: 1. art: b 0 = 3 2. art: b 0 = 3 b 1 = 3 · 2 = 6 b 1 = b 0 · 2 = 6 b 2 = 3 · 2 · 2 = 3 · 2 2 = 12 b 2 = b 1 · 2 = 12 b 3 = 3 · 2 2 · 2 = 3 · 2 3 = 24 b 3 = b 2 · 2 = 24 Allgemein: Allgemein: b n = 3 · 2 n b 0 = 3 und b n + 1 = b n · 2 Auch hier liefert uns die Berechnung auf die erste Art eine Termdarstellung und die Berechnung auf die zweite Art eine rekursive Darstellung der Folge. Mit hilfe der Rekursionsgleichung b n + 1 = b n · 2 kann man jeweils aus b n den nächsten Wert b n + 1 berechnen, wobei man vom Anfangswert b 0 ausgeht. 7. 40 Ermittle eine rekursive Darstellung der Folge (x n ‡ n * N ) mit der Termdarstellung x n = n 2 + n! lösung: x 0 = 0 2 + 0 = 0 x n + 1 = (n + 1) 2 + (n + 1) = n 2 + 2n + 1 + n + 1 = n 2 + n + 2n + 2 = x n + 2n + 2 122234225 x n Rekursive Darstellung: x 0 = 0 und x n + 1 = x n + 2n + 2 aufgaben 7. 41 Gib eine rekursive Darstellung der Folge (x n ‡ n * ℕ ) an! a) x n = 2 n + 1 b) x n = 2n + 1 c) x n = 2 – 1 3 n d) x n = n 2 7. 42 Gib eine Termdarstellung der Folge (x n ‡ n * ℕ ) an! a) x 0 = 0 und x n + 1 = x n + 2 b) x 0 = 1 und x n + 1 = 3 · x n c) x 0 = 5 und x n + 1 = x n L kompakt seite 144 L Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv