Mathematik verstehen 6, Schulbuch

140 7 Folgen 7. 38 Gegeben ist die geometrische Folge (b n ‡ n * ℕ ) mit b n = 2 n . Zeige: Die Folge (d n ) der Differenzen aufeinanderfolgender Glieder der Folge (b n ) stimmt mit der Folge (b n ) überein! Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz geometrischer Folgen satz Eine geometrische Folge (b n ‡ n * ℕ ) mit b n = c · q n ist (1) beschränkt , wenn † q † ª 1 , (2) nicht beschränkt , wenn † q † > 1 . BeWeis : Siehe Anhang Seite 284! satz Eine geometrische Folge (b n ‡ n * ℕ ) mit b n = c · q n und c > 0 ist (1) streng monoton steigend , wenn q > 1 , (3) konstant , wenn q = 1 , (2) streng monoton fallend , wenn 0 < q < 1 , (4) nicht monoton , wenn q < 0 . BeWeis : (1) Ist q > 1, dann sind alle Folgenglieder positiv und es gilt für alle n * N : b n + 1 = b n · q > b n (2) Ist 0 < q < 1, dann sind alle Folgenglieder positiv und es gilt für alle n * N : b n + 1 = b n · q < b n (3) Ist q = 1, dann ist b n + 1 = b 0 für alle n * N . (4) Ist q < 0, dann sind die Glieder der Folge abwechselnd positiv und negativ. Die Folge kann also weder monoton steigend noch monoton fallend sein. c satz Eine geometrische Folge (b n ‡ n * ℕ ) mit b n = c · q n ist (1) konvergent mit dem limes 0 , wenn † q † < 1 , (3) konvergent mit dem limes c , wenn q = 1 , (2) divergent , wenn † q † > 1 , (4) divergent , wenn q = –1 . BeWeis : (1) Sei † q † < 1. Wegen lim n ¥ • b n = lim n ¥ • (c · q ) n = c · lim n ¥ • q n genügt es zu zeigen: lim n ¥ • q n = 0. Für beliebiges ε * R + gilt: † q n – 0 † = † q † n < ε É n · log 10 † q † < log 10 ε É n > log 10 ε __ log 10 † q † . Wählen wir also einen Index n 0 > log 10 ε __ log 10 † q † , dann gilt: † q n – 0 † < ε für alle n º n 0 . (2) Für † q † > 1 ist die Folge nicht beschränkt. Folglich kann sich b n keiner Zahl unbegrenzt nähern. (3) Ist q = 1, dann ist b n = c für alle n * N . Die Folge ist somit konvergent mit dem Limes c. (4) Ist q = –1, dann lautet die Folge (– c, c, – c, c, …), sie besitzt also keinen Grenzwert. c aufgaben 7. 39 Kreuze an, welche Eigenschaften die Folge jeweils hat! Folge beschränkt nicht beschränkt streng monoton steigend streng monoton fallend konvergent divergent b n = 3 · 0,5 n c c c c c c b n = – 2 · 1,5 n c c c c c c b n = 1,3 · 2 n – 1 c c c c c c b n = – 8 · 0,99 n c c c c c c b n = (–1) n c c c c c c b n = 2 · (– 2) n c c c c c c L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv