Mathematik verstehen 6, Schulbuch

14 1 Potenzen, Wurzeln und logari thmen 1 . 3 Wurzeln Definition der n-ten Wurzel 1 . 56 Ermittle alle Lösungen der Gleichung x 2 = 4! lösung: x = 2 = x = –2 Die Gleichung x 2 = 4 hat zwei Lösungen, nämlich 2 und –2, da 2 2 = 4 und (– 2) 2 = 4. Früher hat man sowohl 2 als auch –2 mit 9 _ 4bezeichnet. Damit das Wurzelsymbol eindeutig ist, bezeichnet man aber heute nur die nichtnegative Lösung 2 dieser Gleichung mit 9 _ 4. Allgemein definiert man: Definition Ist a * ℝ 0 + , so nennt man jene nichtnegative reelle Zahl, deren Quadrat gleich a ist, die Quadratwurzel aus a und bezeichnet sie mit 2 9 _ a oder kurz mit 9 _ a . Symbolisch: 9 _ a= x É x 2 = a ? x º 0 Noch allgemeiner definiert man: Definition Ist n * ℕ * und a * ℝ 0 + , so nennt man jene nichtnegative reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist, die n-te Wurzel aus a und bezeichnet sie mit n 9 _ a . Symbolisch: n 9 _ a= x É x n = a ? x º 0 Für n = 2 stimmt diese Definition mit der Definition der Quadratwurzel überein. Bei n 9 _ asind folgende Bezeichnungen üblich: a … radikand [radix, lat. = Wurzel] n … Wurzelexponent Bemerkung: Man kann zeigen, dass die Gleichung x n = a (mit n * ℕ * und a * ℝ 0 + ) genau eine nichtnegative reelle Lösung hat. Deshalb ist n 9 _ aeindeutig bestimmt. rechenregeln für Wurzeln Satz (rechenregeln für Wurzeln) Für alle a, b * ℝ 0 + , alle m, n, k * ℕ * und alle z * ℤ gilt: (1) n 9 __ a n = a (2) 2 n 9 _ a 3 n = a (3) 2 n 9 _ a 3 z = n 9 __ a z (falls a ≠ 0) (4) n 9 ___ a · b= n 9 _ a· n 9 _ b (5) n 9 _ a _ b = n 9 _ a _ n 9 _ b (falls b ≠ 0) (6) m 9 __ n 9 _ a= m· n 9 _ a (7) k ·m 9 ___ a k · n = m 9 __ a n Ein Beweis dieses Satzes findet sich im Anhang auf Seite 282 und 283. Bemerkung: Die Regel (6) besagt, dass man Wurzelexponent und Exponent des Radikanden durch dieselbe Zahl kürzen bzw. mit derselben Zahl erweitern darf. R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv