Mathematik verstehen 6, Schulbuch

138 7 Folgen 7. 4 geometrische Folgen geometrische Folgen als spezialfälle von exponentialfunktionen 7. 28 1) Ein Algenbelag auf einem See nimmt eine Fläche von ca. 500m 2 ein und vergrößert sich monatlich um ca. 30%. Gib eine Formel für den Flächeninhalt b n des Belags (in Quadrat- meter) nach n Monaten an! 2) Wie 1) für den Anfangsflächeninhalt c (in m 2 ) und den monatlichen vergrößerungsfaktor q. lösung: 1) b n = 500 · 1,3 n 2) b n = c · q n Definition Eine Folge (b n ‡ n * ℕ ) mit b n = c · q n (c, q * ℝ *) heißt geometrische Folge . Schreibt man f(n) statt b n , ergibt sich: f(n) = c · q n . Man kann also eine geometrische Folge als eine auf ℕ definierte Exponentialfunktion f auffassen. Beispiel : b n = 0,1 · 2 n bzw. f(n) = 0,1 · 2 n Bemerkung: Um die Analogie zu Exponentialfunktionen deutlicher zu machen, beginnen wir geometrische Folgen stets mit dem Index 0. Für q = 1 gilt b n = c für alle n * ℕ . Eine solche Folge ist eine konstante Folge . satz Für eine geometrische Folge mit b n = c · q n gilt: (1) q = b n + 1 _ b n (2) b n = b 0 · q n (3) b n = 9 ______ b n – 1 · b n + 1 (wenn alle Folgenglieder > 0 sind) BeWeis : (1) b n + 1 _ b n = c · q n + 1 __ c · q n = q n · q _ q n = q (2) b n = c · q n = b 0 · q n (wegen b 0 = c · q 0 = c) (3) 9 ______ b n – 1 · b n + 1 = 9 _________ c · q n – 1 · c · q n + 1 = 9 ____ c 2 · q 2n = c · q n = b n c Bemerkungen: zu (1): Aufgrund dieser Eigenschaft bezeichnet man q kurz als Quotient der Folge. zu (2): Mit dieser Formel kann man das n-te Glied aus dem Anfangsglied berechnen. zu (3): Man bezeichnet die Zahl 9 ___ x · y(mit x, y * ℝ + ) als geometrisches Mittel der Zahlen x und y. Jedes Glied b n ist das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarglieder. Daher rührt der Name „geometrische Folge“. L b 2 b 1 b 0 b 3 b 4 b 5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 n f(n) 1 2 3 4 5 1 2 3 0 b 0 b 1 ·q ·q ·q ·q b 2 b 3 b n – 1 b n … Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv