Mathematik verstehen 6, Schulbuch

137 7. 3 ari thmet ische Folgen Beschränktheit, Monotonie und Konvergenz arithmetischer Folgen satz Eine arithmetische Folge (a n ‡ n * N ) mit ​a​ n ​= k · n + d ist (1) nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt , wenn k > 0 , (2) nach oben beschränkt und nach unten unbeschränkt , wenn k < 0 , (3) nach unten und oben beschränkt , wenn k = 0 . BeWeis : (1) I st k > 0, dann gilt für alle n * N : a n = a 0 + n · k º a 0 . Die Folge ist somit nach unten be- schränkt. Sie überschreitet aber jede noch so große Schranke und ist somit nach oben unbeschränkt. (2) Kann analog bewiesen werden. Führe den Beweis selbst! (3) I st k = 0, dann sind alle a n = a 0 für alle n * N . Somit ist a 0 sowohl eine untere als auch eine obere Schranke der Folge. c satz Eine arithmetische Folge (a n ‡ n * N ) mit ​ a​ n ​= k · n + d ist (1) streng monoton steigend , wenn k > 0 , (2) streng monoton fallend , wenn k < 0 , (3) konstant , wenn k = 0 . BeWeis : (1) I st k > 0, dann ist a n + 1 = a n + k > a n für alle n * N . Somit ist die Folge streng monoton steigend. (2) Ist k < 0, dann ist a n + 1 = a n + k < a n für alle n * N . Somit ist die Folge streng monoton fallend. (3) Ist k = 0, dann ist a n = a 0 für alle n * N . Somit ist die Folge konstant. c satz Eine arithmetische Folge (a n ‡ n * N ) mit ​ a​ n ​= k · n + d ist (1) divergent , wenn k ≠ 0 , (2) konvergent , wenn k = 0 . BeWeis : (1) Ist k ≠ 0, so ist die Folge nicht beschränkt. Die Glieder können sich also keiner Zahl unbegrenzt nähern. (2) Ist k = 0, so ist die Folge konstant und somit konvergent. c aufgaben 7. 27 Kreuze an, welche Eigenschaften die Folge jeweils hat! Folge beschränkt nicht beschränkt streng monoton steigend streng monoton fallend konvergent divergent ​a​ n ​= 2 + 3 · n c c c c c c ​a​ n ​= n – 1 c c c c c c ​a​ n ​= 1 – 2 · n c c c c c c ​a​ n ​= 1 c c c c c c ​a​ n ​= – 5 · n c c c c c c ​a​ n ​= 0 c c c c c c L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv