Mathematik verstehen 6, Schulbuch

135 7. 3 ari thmet ische Folgen 7. 3 arithmetische Folgen arithmetische Folgen als spezialfälle linearer Funktionen 7.17 1) Leasingangebot für ein Auto: 5000€ Anzahlung in bar, monatliche Leasingrate: 170€, Fälligkeit der ersten Rate einen Monat nach vertragsabschluss. Es sei a n der Gesamtbetrag der nach n Monaten insgesamt geleisteten Zahlungen (in Euro). Gib eine Formel für a n an! 2) Wie 1) für eine Anzahlung von d€ und eine monatliche Leasingrate von k€. lösung: 1) a n = 5000 + 170 · n = 170 · n + 5000 2) a n = d + k · n = k · n + d Definition Eine Folge (a n ‡ n * ℕ ) mit a n = k · n + d (k, d * ℝ ) heißt arithmetische Folge . Schreibt man f(n) statt a n , ergibt sich: f(n) = k · n + d. Man kann also eine arithmetische Folge als eine auf ℕ definierte lineare Funktion f auffassen. Beispiel : a n = 0,5 · n + 1 bzw. f(n) = 0,5 · n + 1 Bemerkung: Um die Analogie zu linearen Funktionen deutlicher zu machen, beginnen wir arithmetische Folgen stets mit dem Index 0. Für eine arithmetische Folge mit k = 0 gilt a n = d für alle n * ℕ . Eine solche Folge heißt konstante Folge . satz Für eine arithmetische Folge mit a n = k · n + d gilt: (1) k = a n + 1 – a n (2) a n = a 0 + k · n (3) a n = a n – 1 + a n + 1 __ 2 (für n º 1) BeWeis : (1) a n + 1 – a n = k · (n + 1) + d – (k · n + d) = kn + k + d – kn – d = k (2) a n = k · n + d = d + k · n = a 0 + k · n (3) a n – 1 + a n + 1 __ 2 = 1 _ 2 · [k(n – 1) + d + k(n + 1) + d] = 1 _ 2 · [2kn + 2d] = kn + d = a n c Bemerkungen: zu (1): Aufgrund dieser Eigenschaft bezeichnet man k kurz als Differenz der Folge. zu (2): Mit dieser Formel kann man das n-te Glied aus dem Anfangsglied berechnen. zu (3): Jedes Glied a n ist das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder. Daher rührt der Name „arithmetische Folge“. L a 2 a 1 a 0 a 3 a 4 a 5 … 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 n f(n) 1 2 3 4 5 1 2 3 0 a 0 a 1 + k + k + k + k a 2 a 3 a n – 1 a n … Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv