Mathematik verstehen 6, Schulbuch

134 7 Folgen exaktere Fassung des grenzwertbegriffs In der Aufgabe 7.11 haben wir Grenzwerte dadurch erhalten, dass wir Zähler und Nenner durch n bzw. n​ ​ 2 ​dividiert haben und dann die Zahl ermittelt haben, der sich die Folgenglieder mit wachsendem n „unbegrenzt nähern“. In manchen Fällen (zB. beim Nachweis von ​ lim n ¥ • ​ n 9 _ n​= 1) versagt diese Methode jedoch. Man braucht in solchen Fällen eine exaktere Definition des Grenzwertbegriffs, die wir jetzt erarbeiten wollen. 7.15 Gegeben ist die Folge (a​ ​ n ​ ‡ n * ℕ *) mit a​ ​ n ​= 1 – ​ 1 _ n ​. Wir wissen bereits: ​ lim n ¥ • ​ a​ n ​= 1. a) Ab welchem Index haben alle Folgenglieder a​ ​ n ​vom Grenzwert 1 einen kleineren Abstand als ​ 1 _ 1 000 ​? b) Ab welchem Index haben alle Folgenglieder a​ ​ n ​vom Grenzwert 1 einen kleineren Abstand als eine beliebig klein vorgegebene Zahl ε * ​ ℝ ​ + ​? lösung: Wir erinnern uns, dass der Abstand der Zahl a​ ​ n ​von 1 gleich ​ † ​a​ n ​– 1 † ​ist. a) ​ † ​a​ n ​– 1 † ​< ​ 1 _ 1 000 ​ É ​ † 1 – ​ 1 _ n ​– 1 † ​< ​ 1 _ 1 000 ​ É ​ † – ​ 1 _ n ​ † ​< ​ 1 _ 1 000 ​ É ​ 1 _ n ​< ​ 1 _ 1 000 ​ É n > 1 000 Ab dem 1001. Glied haben alle Folgenglieder von 1 einen kleineren Abstand als ​ 1 _ 1 000 ​. b) ​ † ​a​ n ​– 1 † ​< ε É ​ † 1 – ​ 1 _ n ​– 1 † ​< ε É ​ † – ​ 1 _ n ​ † ​< ε É ​ 1 _ n ​< ε É n > ​ 1 _ ε ​ Wählt man also als Index n die nächste auf ​ 1 _ ε ​ folgende natürliche Zahl n​ ​ 0 ​, dann haben ab diesem Index alle Folgenglieder von 1 einen kleineren Abstand als ε . Diese Aufgabe zeigt, dass man den Begriff des Grenzwerts exakter so definieren kann: Definition Die Zahl a heißt grenzwert (limes) der Folge (a​ ​ n ​ ‡ n * ℕ *) , geschrieben a = ​lim n ¥ • ​ a​ n ​ , wenn gilt: Zu jeder (noch so kleinen) Zahl ε * ​ ℝ ​ + ​gibt es einen Index n​ ​ 0 ​ * ℕ *, sodass † ​a​ n ​– a † < ε für alle n º n​ ​ 0 ​. Um nachzuweisen, dass eine Folge (a n ) den Grenzwert a hat, geht man in zwei Schritten vor: erster schritt: Man gibt ein beliebiges ε > 0 vor. zweiter schritt: M an zeigt, dass †​ a​ n ​– a † ab einem gewissen Index n 0 kleiner als ε wird (indem man die Ungleichung †​ a​ n ​– a † < ε nach n auflöst). Mit hilfe der obigen Grenzwertdefinition kann man den folgenden Satz beweisen. Den Beweis findet man im Anhang auf Seite 284. satz Jede konvergente Folge ist beschränkt . Beachte : Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht. Eine beschränkte Folge muss nicht konvergent sein. ZB ist die Folge (1, –1, 1, –1, …) beschränkt, aber nicht konvergent. aufgaben 7.16 Beweise zuerst, dass die Folge (a​ ​ n ​ ‡ n * ℕ *) den Grenzwert a hat und ermittle anschließend, ab welchem Index der Abstand aller Folgenglieder a​ ​ n ​von a kleiner als 0,01 ist! a) ​a​ n ​= ​ 3 _ n ​, a = 0 c) ​a​ n ​= 2 – ​ 2 _ n ​, a = 2 e) ​a​ n ​= ​ 4 + 2n _ 4 + n ​, a = 2 b) ​a​ n ​= ​ 1 _ 2n – 1 ​, a = 0 d) ​a​ n ​= 1 + ​ 5 _ n ​, a = 1 f) ​ a​ n ​= ​ ​ 2 – 1 3 ​ n ​+ n __ 2n ​, a = ​ 1 _ 2 ​ L kompakt seite 144 L Ó lernapplet k26w4z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv