Mathematik verstehen 6, Schulbuch

133 7. 2 grenzWerte von Folgen 7. 2 grenzWerte von Folgen intuitive ermittlung von grenzwerten Die im vorigen Abschnitt betrachtete Folge 2 1 – 1 _ n ‡ n * N * 3 = 2 0, 1 _ 2 , 2 _ 3 , 3 _ 4 , 4 _ 5 , … 3 hat noch eine bemerkenswerte Eigenschaft. Ihre Glieder nähern sich immer mehr der Zahl 1 und scheinen dieser Zahl sogar beliebig nahe zu kommen. Nähern sich die Glieder einer Folge (a n ) „unbegrenzt“ einer bestimmten Zahl a (dh. kommen sie der Zahl a beliebig nahe), dann nennt man a den grenzwert ( limes ) der Folge und schreibt: a = lim n ¥ • a n [Lies: a ist der Limes von a n für n gegen unendlich.] Es gilt also: lim n ¥ • 2 1 – 1 _ n 3 = 1. Allerdings besitzt nicht jede Folge einen Grenzwert. Zum Beispiel hat die Folge (n ‡ n * ℕ *) = (1, 2, 3, …) keinen Grenzwert. Definition Eine Folge heißt konvergent , wenn sie einen Grenzwert besitzt, und divergent , wenn sie keinen Grenzwert besitzt. 7.11 Ermittle den Grenzwert der Folge (a n ‡ n * ℕ *) mit a) a n = n + 1 _ 5n + 3 , b) a n = n 2 + 1 _ 3n 2 + 2 ! lösung: a) Wir dividieren beim Folgenterm Zähler und Nenner durch n: n + 1 _ 5n + 3 = 1 + 1 _ n _ 5 + 3 _ n Mit wachsendem n nähert sich der Zähler unbegrenzt der Zahl 1 und der Nenner unbegrenzt der Zahl 5. Somit gilt: lim n ¥ • n + 1 _ 5n + 3 = 1 _ 5 . b) Wir dividieren beim Folgenterm Zähler und Nenner durch n 2 : n 2 + 1 _ 3n 2 + 2 = 1 + 1 _ n 2 _ 3 + 2 _ n 2 Mit wachsendem n nähert sich der Zähler unbegrenzt der Zahl 1 und der Nenner unbegrenzt der Zahl 3. Somit gilt: lim n ¥ • n 2 + 1 _ 3n 2 + 2 = 1 _ 3 . aufgaben 7.12 Ermittle den Grenzwert der Folge (a n ‡ n * N *)! a) a n = 2 _ n d) a n = 6n + 1 _ 2n g) a n = 4 · 2 1 – 2 _ n 3 j) a n = 1 _ n 2 b) a n = 1 – 1 _ 5n e) a n = 1 _ 2 2 2 – 1 _ n 3 h) a n = n _ n – 1 k) a n = 1 _ n 2 + 1 c) a n = n 2 + 2 _ 4n 2 + 3 f) a n = n 2 – 1 _ n 2 + 5 i) a n = n + 2 _ 4n 2 – 1 l) a n = n 2 + 2 _ 3n 2 – 5 7.13 Zeige, dass die Folge (a n ‡ n * N *) eine „Nullfolge“ ist, dh. den Grenzwert 0 besitzt! a) a n = n _ n 3 b) a n = n 3 – 4n _ n 4 – 4 c) a n = n 10 – n 2 __ n 20 d) a n = n _ n 4 – n 3 7.14 Betrachte die Folge ( n 9 _ n ‡ n * N *)! Berechne mit Technologieeinsatz die Glieder für n = 100, 200, …, 1 000! Ergibt sich eine vermutung über einen Grenzwert? L 0 1 a 2 a 1 a 3 a 4 a 5 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv