Mathematik verstehen 6, Schulbuch

132 7 Folgen aufgaben 7. 05 Ist die Folge (a n ‡ n * N *) nach oben bzw. unten beschränkt? Ist sie beschränkt? a) a n = n + 3 c) a n = (–1) n · n e) a n = 2 g) a n = † n † b) a n = 2 – 3n d) a n = (–1) n · 1 _ n f) a n = 2 · (n – 4) h) a n = – 9 _ n 7. 06 Gib eine Folge (a n ‡ n * N *) mit folgenden Eigenschaften an: a) Die Folge ist nach oben beschränkt, aber nicht nach unten beschränkt. b) Die Folge ist nach unten beschränkt, aber nicht nach oben beschränkt. c) Die Folge ist weder nach unten noch nach oben beschränkt. d) Die Folge ist beschränkt. 7. 07 a) Gib zwei obere und zwei untere Schranken der Folge 2 2 – 1 _ n ‡ n * ℕ * 3 an! b) Zeige, dass 0,999 keine obere Schranke der Folge 2 1 – 1 _ n ‡ n * ℕ * 3 ist! Monotone Folgen Die Glieder der Folge 2 1 – 1 _ n ‡ n * ℕ * 3 = 2 0, 1 _ 2 ,  2 _ 3 ,  3 _ 4 , … 3 werden immer größer, dh. es gilt: a 1 < a 2 < a 3 < … . In Analogie zu Funktionen definiert man: Definition Eine Folge (a n ‡ n * N *) heißt monoton steigend , wenn a n ª a n + 1 für alle n * N *, monoton fallend , wenn a n º a n + 1 für alle n * N *, streng monoton steigend , wenn a n < a n + 1 für alle n * N *, streng monoton fallend , wenn a n > a n + 1 für alle n * N *. Die Folge heißt ( streng ) monoton , wenn sie (streng) monoton steigend oder (streng) monoton fallend ist. Beispiel : Die Folge (a n ‡ n * ℕ *) mit a n = n _ n + 2 ist streng monoton steigend, denn es gilt: a n < a n + 1 É n _ n + 2 < n + 1 _ n + 3 É n 2 + 3n < n 2 + 3n + 2 Da die letzte Ungleichung für alle n * ℕ * wahr ist, gilt auch die erste Ungleichung für alle n * ℕ *. aufgaben 7. 08 Zeige, dass die Folge (a n ‡ n * N *) streng monoton steigend ist! a) a n = 2n – 1 b) a n = n 2 – n + 1 c) a n = n 2 _ n + 1 d) a n = n 2 – 1 _ n 2 + 1 7. 09 Zeige, dass die Folge (a n ‡ n * N *) streng monoton fallend ist! a) a n = 10 + 1 _ n 2 b) a n = 1 _ 2n + 1 c) a n = 2n + 1 _ n d) a n = n + 6 _ n 2 + 1 7.10 Ist die Folge (a n ‡ n * N *) monoton steigend, monoton fallend oder nicht monoton? a) a n = 3 – n c) a n = 2 · 3 n e) a n = n _ 2n + 1 g) a n = n _ 2 n b) a n = 1 – n 2 d) a n = (–1) n f) a n = n + 1 _ n h) a n = 1 – n _ n 2 L L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv