Mathematik verstehen 6, Schulbuch

131 7.1 zahlenfolgen Folgen als Funktionen Eine Folge (a n ‡ n * N *) kann man auch als eine Funktion f: N * ¥ ℝ auffassen, die jeder von 0 verschiedenen natürlichen Zahl n den Funktionswert f(n) = a n zuordnet. Beispiel : Die ersten fünf Glieder der Folge ​ 2 1 – ​ ​ 1 _ n ​ ‡ ​n * N * 3 ​= ​ 2 0, ​ 1 _ 2 ​, ​ 2 _ 3 ​, ​ 3 _ 4 ​, ​ 4 _ 5 ​, … 3 ​sind in Abb. 7.1 als Punkte auf einer Zahlengeraden dargestellt. Fasst man die Folge als Funktion f: N * ¥ ℝ mit f(n) = a n = 1 – ​ 1 _ n ​auf, kann man sie auch durch den Graphen dieser Funktion wie in Abb. 7.2 darstellen. Abb. 7.1 Abb. 7.2 aufgaben 7. 01 Berechne die ersten fünf Glieder der Folge (a n ‡ n * N *)! Stelle sie auf der Zahlengeraden dar und zeichne den Graphen der zugehörigen Funktion! a) a n = 2n + 1 b) a n = 1 – n c) a n = 3 d) a n = 2 · (–1) n e) a n = 2 · (n – 4) 7. 02 Berechne a n für n = 1, 2, …, 7: a) a n = ​ { ​ 1 –1 ​​ für n gerade für n ungerade ​ ​ ​ b) a n = ​ { ​ (–1​)​ n ​ 0 ​​ für n gerade für n ungerade ​ ​ 7. 03 Es sind fünf Glieder einer Folge (a n ‡ n * N *) gegeben. Finde eine möglichst einfache Termdarstellung, die zu dieser Folge gehören könnte! a) a 1 = 1, a 3 = 5, a 4 = 7, a 6 = 11, a 7 = 13 c) a 1 = –1, a 2 = 1, a 3 = –1, a 5 = –1, a 7 = –1 b) a 1 = 1, a 2 = 4, a 3 = 7, a 4 = 10, a 5 = 13 d) a 1 = 2, a 2 = 5, a 3 = 10, a 5 = 26, a 8 = 65 7. 04 Die ersten drei Glieder einer Folge (a n ‡ n * N *) sind: a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3. Gib eine möglichst einfache Termdarstellung an, die zu dieser Folge gehören könnte! Zeige durch Rechnung, dass für die Zahlen a 1 , a 2 , a 3 auch gilt: a n = –n 3 + 6n 2 – 10n + 6! Was kann man daraus schließen? Beschränkte Folgen Bei der Folge ​ 2 ​​1 – ​ 1 _ n ​ ‡ ​n * ℕ * 3 ​= ​ 2 0, ​ 1 _ 2 ​, ​ 2 _ 3 ​, ​ 3 _ 4 ​, … 3 ​gilt: 0 ª ​a​ n ​< 1 für alle n * ℕ *. Diese Eigenschaft wird durch folgende Begriffe erfasst. Definition Sei (a n ‡ n * N *) eine Folge. (1) Eine reelle Zahl K heißt obere schranke der Folge , wenn a n ª K für alle n * N *. (2) Eine reelle Zahl L heißt untere schranke der Folge , wenn a n º L für alle n * N *. Die Folge heißt nach oben ( unten ) beschränkt , wenn sie eine obere (untere) Schranke besitzt. Sie heißt beschränkt , wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. Beispiel : Die Folge ​ 2 1 – ​ ​ ​ 1 _ n ​ ‡ ​n * N * 3 ​ist beschränkt, da 0 ª 1 – ​ 1 _ n ​< 1 für alle n * N *. Die Zahl 1 ist eine obere, die Zahl 0 eine untere Schranke der Folge. Jede Zahl K > 1 wäre ebenfalls eine obere Schranke, jede Zahl L < 0 ebenfalls eine untere Schranke der Folge. L kompakt seite 144 1 2 a 2 a 1 a 3 a 4 a 5 2 3 3 4 4 5 0 1 0 1 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 1 2 3 4 5 6 7 n a 0 L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv