Mathematik verstehen 6, Schulbuch

122 6 ergÄnzungen zu Funkt ionen 6 . 5 historisches zu Funktionen Die ältesten Darstellungen funktionaler Zusam- menhänge bilden tabellen . Schon 2000 v. Chr. erstellten die Babylonier Rechentafeln, ua. zur Berechnung des Kehrwerts, des Quadrats, der dritten Potenz sowie der Quadrat- und Kubik- wurzel einer Zahl. Später finden sich Tabellen vor allem in der antiken Geometrie und Astronomie (zum Beispiel im Almagest des Ptolemaios ). Die älteste Darstellung, die zumindest entfernt unseren heutigen graphen entspricht, stammt aus dem 11. Jahrhundert (siehe Abb. 6.1). Darge- stellt sind Planetenpositionen in Abhängigkeit von der Zeit. Mercur Saturn Sol Mars Juppit Luna Abb. 6.1 Im 14. Jahrhundert entwickelte Nicole oresme Darstellungen wie in Abb. 6.2, mit denen er Pro- portionalitäten illustrierte. s 1 t 1 t 2 s 2 Abb. 6.2 Ein wesentliches Darstellungsmittel wurde der Graph in der analytischen geometrie , die von rené Descartes (1596 –1650) und Pierre Fermat (1601 – 1665) unabhängig voneinander entwi- ckelt wurde. Fermat schrieb (vgl. Abb. 6.3): „So- bald zwei unbekannte Größen in einer Gleichung auftreten, … gibt es einen Ort [Punkt] und der Endpunkt einer der beiden Quantitäten [End- punkt der als Strecke gedachten Ordinate] be- schreibt eine gerade oder krumme Linie“. (Bis ins 20. Jahrhundert hinein bezeichnete man die ent- stehende Kurve als „Ortslinie“.) x y Abb. 6.3 Im 16. Jahrhundert entwickelte sich das Rechnen mit Buchstaben, vor allem durch Francois viète (genannt vieta , 1540 – 1603). Mit Buchstaben konnte man funktionale Zusammenhänge auch durch terme oder gleichungen beschreiben. Das Wort „functio“ tauchte zum ersten Mal in ei- nem Briefwechsel zwischen gottfried Wilhelm leibniz (1646 – 1716) und Johann Bernoulli (1667–1748) auf. Bis ins 17. Jahrhundert hat man allerdings funktionale Zusammenhänge nur dar- gestellt und gebraucht, ohne zu fragen, was denn eigentlich eine Funktion sei. Diese Frage stellte man sich erst ernsthaft, als Grenzfälle auftauchten, bei denen nicht klar war, ob man sie als Funktionen auffassen sollte (zB Graphen mit Ecken oder Sprüngen). Johann Bernoulli beschrieb eine Funktion als „analytischen Ausdruck“, der aus veränderlichen und konstanten Größen zusammengesetzt ist (siehe Abb. 6.4). Gemeint ist ein Term, der aus Zahlen und variablen aufgebaut ist. leonhard euler (1707–1783), ein Schüler Johann Bernoullis , übernahm im Wesentlichen dessen Funktionsdefinition (siehe Abb. 6.5). Als Beispiel für einen analytischen Ausdruck [Term] gab er ua. az + b 9 ____ a 2 – 4z 2 an. Darin ist z die veränder- liche Zahlgröße und 4 eine eigentliche Zahl, während a und b konstante Zahlgrößen sind. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V r ags öbv