Mathematik verstehen 6, Schulbuch

120 6 ergÄnzungen zu Funkt ionen Allgemein gilt: satz Sind zwei reelle Funktionen f: A ¥ B und g: B ¥ A Umkehrfunktionen voneinander, dann liegen ihre Graphen symmetrisch bezüglich der 1. Mediane. Beweis : Es sei F der Graph von f und G der Graph von g: F = {(x 1 y) ‡ x * A ? y * B ? y = f(x)} G = {(y 1 x) ‡ y * B ? x * A ? x = g(y)} Weil f und g Umkehrfunktionen voneinander sind, gilt für alle x * A und alle y * B: (x 1 y) * F É y = f(x) É x = g(y) É (y 1 x) * G Da die Punkte (x 1 y) und (y 1 x) symmetrisch bezüglich der 1. Mediane liegen, folgt daraus: Die Punkte von F und G gehen durch Spiegelung an der 1. Mediane auseinander hervor. c aufgaben 6 . 27 Skizziere den Graphen der Funktion f! Ermittle die Definitionsmenge, Zielmenge und Werte- menge von f! Ist die Wertemenge eine echte Teilmenge der Zielmenge? a) f: R ¥ R mit f(x) = x c) f: R ¥ R mit f(x) = 2 x b) f: R 0 + ¥ R mit f(x) = 9 _ x d) f: R + ¥ R mit f(x) = log 10 x 6 . 28 Skizziere den Graphen der Funktion f! Ermittle die Definitionsmenge, Zielmenge und Wertemen- ge von f! Schränke die Definitionsmenge oder die Zielmenge so ein, dass eine bijektive Funktion entsteht!! a) f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = 1 _ 2 x 2 c) f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = 1 _ 2 · 2 x b) f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = – x 2 d) f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = sin(x) 6 . 29 Welche der folgenden Funktionen f: ℝ ¥ ℝ sind bijektiv? (1) f(x) = 2x + 1 (3) f(x) = x 3 (5) f(x) = 1,5 x (2) f(x) = x 2 – 1 (4) f(x) = x 4 (6) f(x) = sin(2x) 6 . 30 Zeige, dass die Funktionen f und g Umkehrfunktionen voneinander sind! Zeichne ihre Graphen und überprüfe, ob diese symmetrisch zur 1. Mediane liegen! a) f: R ¥ R mit f(x) = 2x, g: R ¥ R mit g(x) = x _ 2 b) f: R 0 + ¥ R 0 + mit f(x) = x 3 , g: R 0 + ¥ R 0 + mit g(x) = 3 9 _ x 6 . 31 Zeige, dass die Funktionen f und g Umkehrfunktionen voneinander sind! a) f: R ¥ R mit f(x) = kx + d, g: R ¥ R mit g(x) = x – d _ k (k * R *, d * R ) b) f: R 0 + ¥ R 0 + mit f(x) = x n , g: R 0 + ¥ R 0 + mit g(x) = n 9 _ x (n * ℕ *) c) f: R ¥ R + mit f(x) = a x , g: R + ¥ R mit g(x) = log a x (a * R + , a ≠ 1) 6 . 32 Die Funktion id: A ¥ A ‡ x ¦ x heißt identische Funktion auf der Menge A. Zeige: Sind f: A ¥ A und g: A ¥ A Umkehrfunktionen voneinander, dann gilt (g ° f) = (f ° g) = id. x y 0 2. A. 1. A. x y (x|y) (y|x) 1. Mediane f g L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv