Mathematik verstehen 6, Schulbuch

119 6 . 3 Umkehrfunkt ionen Umkehrfunktionen Ist f: A ¥ B eine bijektive reelle Funktion, so kann man die Funktion f*: B ¥ A betrachten, die jedem Element y * B sein Urelement x * A bezüglich f zuordnet. Siehe nebenstehende Abbildung! Definition Sei f: A ¥ B eine bijektive reelle Funktion. Die Funktion f*: B ¥ A, die jedem Element y * B sein Urelement x * A bezüglich f zuordnet, nennt man die Umkehrfunktion der Funktion f. Ist f* die Umkehrfunktion von f, so ist klarerweise f die Umkehrfunktion von f*. Wir können also sagen: f und f* sind Umkehrfunktionen voneinander. An der nebenstehenden Abbildung erkennt man unmittelbar die Richtigkeit des folgenden Satzes: satz Die reellen Funktionen f: A ¥ B und g: B ¥ A sind genau dann Umkehrfunktionen voneinander, wenn für alle x * A und alle y * B gilt: y = f(x) É x = g(y) 6 . 25 Gegeben sind die Funktionen f: R 0 + ¥ R 0 + mit f(x) = x 2 und g: R 0 + ¥ R 0 + mit g(x) = 9 _ x. a) Zeige, dass die Funktionen f und g Umkehrfunktionen voneinander sind! b) Zeichne die Graphen der Funktionen f und g! Was fällt auf? lösung: a) Für alle x * R 0 + und alle y * R 0 + gilt: y = f(x) É y = x 2 É x = 9 _ y É x = g(y) b) Siehe nebenstehende Abbildung! Man erkennt: Die Graphen von f und g liegen symmetrisch bezüglich der 1. Mediane. 6 . 26 Gegeben sind die Funktionen f: R¥ R + mit f(x) = 2 x und g: R + ¥ R mit g(x) = log 2 x. a) Zeige, dass die Funktionen f und g Umkehrfunktionen voneinander sind! b) Zeichne die Graphen der Funktionen f und g! Liegen auch diese Graphen symmetrisch bezüglich der 1. Mediane? lösung: a) Für alle x * R und alle y * R + gilt: y = f(x) É y = 2 x É x = log 2 y É x = g(y) b) Siehe nebenstehende Abbildung! Auch diese Graphen liegen symmetrisch bezüglich der 1. Mediane. L x f y = f(x) f* kompakt seite 125 x = g(y) f y = f(x) g Ó applet q829w5 x 4 3 2 1 0 1 2 3 4 y f g 1. Mediane 0 1 2 3 4 2 3 4 y 1. Mediane g f x – 2 – 4 – 2 – 4 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv