Mathematik verstehen 6, Schulbuch

118 6 ergÄnzungen zu Funkt ionen 6 . 3 Umkehrfunktionen Bijektive Funktionen Eine reelle Funktion war bisher immer von der Form f: A ¥ ℝ mit A a ℝ . Im Folgenden wird der Begriff der reellen Funktion jedoch etwas allgemeiner verwendet, denn es werden auch Funktionen f: A ¥ B mit A a ℝ und B a ℝ zugelassen. Definition Eine Funktion f: a ¥ B mit A a ℝ und B a ℝ nennt man eine reelle Funktion . Die Menge a heißt Definitionsmenge der Funktion f. Die Menge B heißt zielmenge der Funktion f. Die Menge f(a) = {f(x) * B 1 x * a} heißt Wertemenge der Funktion f. Beachte : Die Wertemenge von f ist stets eine Teilmenge der Zielmenge von f; sie kann aber durchaus eine echte Teilmenge der Zielmenge sein. Ordnet eine reelle Funktion f: A ¥ B einem Element x * A das Element y * B zu, so nennt man y das Bildelement von x und x ein Urelement von y . Laut Definition einer Funktion besitzt jedes x * A genau ein Bildelement y * B. Umgekehrt kann es aber sein, dass ein Element y * B kein Urelement bzw. mehrere Urelemente in A besitzt (wie in nebenstehender Abbildung). Definition Eine Funktion f: A ¥ B, bei der jedes Element x * A genau ein Bildelement y * B und jedes Element y * B genau ein Urelement x * A besitzt, nennt man eine bijektive Funktion . Durch Einschränken der Definitions- bzw. Zielmenge einer Funktion f kann man oft erreichen, dass eine bijektive Funktion entsteht. Beispiel : Die Funktion f: ℝ ¥ ℝ 1 x ¦ x 2 ist nicht bijektiv, denn manche Elemente y aus der Ziel- menge ℝ besitzen zwei Urbilder x 1 und x 2 in der Definitionsmenge ℝ (linke Abbildung). Schränken wir jedoch sowohl die Definitionsmenge als auch die Zielmenge auf ℝ 0 + ein, gibt es zu jedem y aus der eingeschränkten Zielmenge genau ein Urbild aus der eingeschränkten Definitionsmenge, dh. es liegt eine bijektive Funktion vor (rechte Abbildung). f: ℝ ¥ ℝ 1 x ¦ x 2 f: ℝ 0 + ¥ ℝ 0 + 1 x ¦ x 2 Definitionsmenge: ℝ Definitionsmenge: ℝ 0 + Zielmenge: ℝ Zielmenge: ℝ 0 + Wertemenge: ℝ 0 + Wertemenge: ℝ 0 + L A B x 1 x 2 y 0 f x y 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv