Mathematik verstehen 6, Schulbuch

117 6 . 2 verkettung von Funkt ionen 6 . 2 verkettung von Funktionen verkettung als hintereinanderausführung Um den Funktionswert h(x) = 9 ___ x 2 + 1für eine konkrete Zahl x zu berechnen, kann man die Funktion h in die Funktion f: x ¦ x 2 + 1 und die Funktion g: x ¦ 9 _ xzerlegen. Man ermittelt dann zuerst f(x) = x 2 + 1 und anschließend g(f(x)) = 9 __ f(x). Insgesamt erhält man: h(x) = g(f(x)) = 9 __ f(x)= 9 ___ x 2 + 1 Der Ausdruck g(f(x)) bedeutet: Man wendet zuerst auf die Zahl x die Funktion f an und erhält die Zahl f(x); anschließend wendet man auf die Zahl f(x) die Funktion g an und erhält die Zahl g(f(x)). Statt die Funktionen f und g hintereinander anzuwenden, kann man der Zahl x gleich die Zahl g(f(x)) zuordnen. Die Funktion, die dies leistet, wird mit g ° f bezeichnet (lies: „g Ring f“ oder „g nach f“) und heißt verkettung von f und g . Damit man g ° f bilden kann, muss vorausgesetzt werden, dass jeder Funktionswert f(x) in der Definitionsmenge von g liegt, dh. die Wertemenge von f muss eine Teilmenge der Definitions- menge von g sein. Definition Es seien f und g zwei reelle Funktionen mit der Eigenschaft, dass die Wertemenge von f eine Teilmenge der Definitionsmenge von g ist. Dann heißt die Funktion g ° f mit (g ° f)(x) = g(f(x)) die verkettung der Funktionen f und g . aufgaben 6 . 22 Gib einen Funktionsterm für (g ° f)(x) = g(f(x)) an! Ersetze dazu in g(x) das Argument x durch f(x)! a) f(x) = 3x 2 , g(x) = 9 _ x e) f(x) = – x, g(x) = 2 x b) f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 9 _ x f) f(x) = 3x + 5, g(x) = x 4 c) f(x) = x – 2, g(x) = x 2 g) f(x) = 3x + π , g(x) = sin x d) f(x) = x 2 , g(x) = x + 1 h) f(x) = – kx (mit k > 0), g(x) = a x (mit a > 0) 6 . 23 Gib Termdarstellungen f(x) und g(x) zweier Funktionen f und g an, sodass h(x) = (g ° f)(x) gilt! a) h(x) = 9 ___ sin x e) h(x) = 1 _ cos x i) h(x) = 10 – x _ 2 b) h(x) = sin 2 x f) h(x) = 5 9 _____ x 2 + x + 1 j) h(x) = 1 _ 2 x c) h(x) = cos x – 1 g) h(x) = (7x – 4) 3 k) h(x) = tan † x † d) h(x) = cos (x – 1) h) h(x) = (x + 1) 7 l) h(x) = e – 2x 6 . 24 Ermittle eine Termdarstellung für (g ° f)(x) und gib die größtmögliche Definitionsmenge von f an, sodass g ° f gebildet werden kann! a) f(x) = 5x + 5, g(x) = 9 _ x c) f(x) = x 2 , g(x) = 1 _ x b) f(x) = 2x – 10, g(x) = 3 9 _ x d) f(x) = 9 _ x, g(x) = sinx L kompakt seite 125 x f f(x) g g(f(x)) g f L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv