Mathematik verstehen 6, Schulbuch

115 6 .1 Formeln und Funkt ionen 6 .15 Ein Auto fährt frontal gegen eine Mauer. Als Maß für die Stärke des Aufpralls kann man die kinetische Energie des Autos nehmen. hat das Auto die Masse m und fährt es mit der Geschwin- digkeit v, so beträgt seine kinetische Energie E = mv 2 _ 2 (m in Kilogramm, v in km/h). 1) Angenommen, das Auto wäre so beladen gewesen, dass es die 1 1 _ 2 fache Masse besessen hät- te. Auf das Wievielfache wäre die Stärke des Aufpralls gewachsen? 2) Angenommen, das Auto wäre mit doppelter Geschwindigkeit gegen die Wand gefahren. Auf das Wievielfache wäre dann die Stärke des Aufpralls gewachsen? 3) Betrachte die Funktionen m ¦ E (v konstant) und v ¦ E (m konstant)! Welche dieser beiden Funktionen ist linear? von welchem Typ ist die andere Funktion? 6 .16 Fließt ein elektrischer Strom der Stromstärke I während der Zeitdauer t durch einen Leiter mit dem Widerstand R, so wird dabei elektrische Energie in Wärmeenergie umgesetzt. Diese ist gegeben durch W = I 2 Rt. a) Zu welchen der Größen I, R, t ist W direkt proportional? Ist W zu I 2 direkt proportional? b) Wie ändert sich W, wenn I verdreifacht wird? c) Die Wärmeenergie, die ein elektrisches heizgerät abgibt, soll bei konstanter Betriebsdauer vervierfacht werden. Berechne, auf das Wievielfache man dazu die Stromstärke erhöhen muss! Begründe die Antwort! d) Die Wärmeenergie, die ein elektrisches heizgerät abgibt, soll bei konstanter Stromstärke vervierfacht werden. Berechne, auf das Wievielfache man dazu die Betriebsdauer erhöhen muss! Begründe die Antwort! aufstellen von Formeln aus der Kenntnis von abhängigkeiten Bisher haben wir stets aus einer vorgegebenen Formel Abhängigkeiten zwischen den vorkom- menden Größen herausgelesen. In der Praxis steht man aber häufig vor dem umgekehrten Problem: Aufgrund von Messungen oder einfach aufgrund gewisser plausibler Annahmen weiß man, wie eine bestimmte Größe von anderen Größen abhängt und will daraus eine Formel für diese Größe aufstellen. 6 .17 Drähte aus einem bestimmten Metall mit verschiedenen Querschnitten und Längen werden durch Anhängen verschiedener Gewichtsstücke geringfügig gedehnt. Durch Messungen stellt man fest: Die Längenzunahme Δ® [lies: Delta ® ] ist direkt proportional zur Masse m des Gewichtsstücks und zur Länge ® des Drahtes. Die Längenzunahme Δ® ist indirekt proportional zum Inhalt q der Querschnittsfläche des Drahtes. Ein Messergebnis ist in der Tabelle angegeben. Stelle eine Formel für die Längenzunahme Δ® auf! lösung: Wegen der angegebenen Proportionalitäten ist die gesuchte Formel von der Bauart: Δ® = c · m· ® _ q mit c * R + Die Konstante c kann man aus den Messergebnissen bestimmen: 3 = c · 6,8 · 700 __ 2 w c ≈ 0,001 3 Damit lautet die Formel: Δ® ≈ 0,001 3 · m· ® _ q L ∆ø ø m m (in kg) ® (in mm) q (in mm 2 ) Δ ® (in mm) 6,8 700 2 3,00 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv