Mathematik verstehen 6, Schulbuch

114 6 ergÄnzungen zu Funkt ionen 6 . 09 Stelle eine Formel für das volumen v(x, y, z, h) des nebenstehend abgebildeten Körpers auf! a) Zeige durch Rechnung: v(x, y, r · z, r · h) = r · v(x, y, z, h)! Was sagt diese Gleichung aus? b) verdoppelt sich das volumen, wenn x, y, z und h verdoppelt werden? Begründe! c) Auf das Wievielfache müssen x, y, z und h zugleich vergrößert werden, damit das volumen des Körpers auf das 125fache wächst? d) Gib vier verschiedene Möglichkeiten an, wie man x, y, z und h verändern kann, um das volumen des Körpers zu verhundertfachen! Schreibe die entsprechenden Gleichungen an! 6 .10 Wie schnell ein Körper auf einem himmelskörper zu „Boden” fällt, hängt von der Fallbeschleuni- gung a auf diesem himmelskörper ab. Der in der Zeit t zurückgelegte Weg s ist (ohne Berück- sichtigung eines allfälligen atmosphärischen Widerstandes) gegeben durch s = a _ 2 · t 2 . 1) Welche der Funktionen a ¦ s (t konstant) und t ¦ s (a konstant) sind linear? Wenn eine dieser Funktionen von einem anderen Typ ist, gib diesen an! 2) Welches der nebenstehenden Schaubilder könnte die Funktion t ¦ s (a konstant) darstellen? 6 .11 Gegeben ist die Formel u = x _ yz 2 mit x, y, z, u * ℝ + . a) Welche Proportionalität besteht zwischen u und x? von welchem Typ ist die Funktion u mit u(x) = x _ yz 2 ? b) Welche Proportionalität besteht zwischen u und y? von welchem Typ ist die Funktion u mit u(y) = x _ yz 2 ? lösung: Wenn nichts dazugesagt wird, wird stillschweigend angenommen, dass die nicht erwähnten variablen der Formel konstant gehalten werden. a) u(x) = x _ yz 2 = 1 _ yz 2 · x. Das bedeutet: u ist zu x direkt proportional. Die Funktion u ist vom Typ f(x) = k · x. b) u(y) = x _ yz 2 = x _ z 2 · 1 _ y . Das bedeutet: u ist zu y indirekt proportional. Die Funktion u ist vom Typ f(x) = c · 1 _ x = c _ x . 6 .12 Beantworte die folgenden Fragen für die Formel (mit x, y, z, u * R + )! a) u = x 2 yz b) u = x 2 y _ z c) u = z 2 _ xy d) u = xy 2 _ 2z 2 1) Zu welchen der Größen x, y, z ist u direkt proportional, zu welchen indirekt proportional? 2) Ist u zu x 2 , y 2 bzw. z 2 direkt oder indirekt proportional? 3) von welchem Typ sind die Funktionen x ¦ u, y ¦ u, z ¦ u? 4) Wächst oder fällt u, wenn x wächst und y und z konstant bleiben? 6 .13 Wie ändert sich z in der folgenden Formel, wenn von den variablen x, y * R + eine wächst und die andere konstant bleibt? a) z = x 3 – y b) z = y _ x 2 c) z = 1 _ x – 1 _ y 6 .14 In der folgenden Formel sind x, y * R + und C ist eine Konstante. Wie ändert sich x, wenn y wächst? Können x und y beide zugleich wachsen? a) x – y = C b) x 2 · y = C c) x _ y = C d) 1 _ x · y = C z x y h s t s t s t s t Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv