Mathematik verstehen 6, Schulbuch

112 6 ergÄnzungen zu Funkt ionen 6 . 01 Beantworte folgende Fragen für die Formel v(h) = r 2 π · h (r konstant). 1) Wie ändert sich das volumen v(h), wenn h wächst? 2) Wie ändert sich v(h), wenn h verdoppelt wird? Begründe! 3) Wie muss h geändert werden, damit v(h) verdreifacht wird? Begründe! 4) Ist v(h) zu h direkt oder indirekt proportional? 5) von welchem Typ ist die Funktion v: h ¦ v(h)? 6) Was lässt sich über den Graphen dieser Funktion aussagen? lösung: Wir setzen r 2 π = k (konstant). Dann gilt: v(h) = k · h. 1) Wenn h wächst, dann wächst auch v(h). 2) v(h) wird verdoppelt, denn es gilt: v(2 · h) = k · (2 · h) = 2 · (k · h) = 2 ·v(h) 3) h muss verdreifacht werden, denn es gilt: v(3 · h) = k · (3 · h) = 3 · (k · h) = 3 · v(h) 4) v(h) ist zu h direkt proportional mit dem Proportionalitätsfaktor k. 5) Die Funktion ist vom Typ x ¦ k · x, dh. eine direkte Proportionalitätsfunktion. 6) Der Graph ist eine Gerade durch O mit der Steigung k. 6 . 02 Beantworte folgende Fragen für die Formel v(r) = π h · r 2 (h konstant). 1) Wie ändert sich v(r), wenn r wächst? 2) Wie ändert sich v(r), wenn r verdoppelt wird? Begründe! 3) Wie muss r geändert werden, damit v(r) verdreifacht wird? 4) Ist v(r) zu r direkt oder indirekt proportional? 5) von welchem Typ ist die Funktion v: r ¦ v(r)? 6) Was lässt sich über den Graphen dieser Funktion aussagen? lösung: Wir setzen π h = c (konstant). Dann gilt: v(r) = c · r 2 . 1) Wenn r wächst, dann wächst auch v(r). 2) v(2 · r) = c · (2 · r) 2 = c · (4 · r 2 ) = 4 · (c · r 2 ) = 4 · v(r). Das volumen wird vervierfacht. 3) v(x · r) = 3 · v(r) É π h · (x · r) 2 = 3 · π h · r 2 É x 2 · r 2 = 3 · r 2 É x 2 = 3 Daraus folgt: x = 9 _ 3. Der Radius muss mit 9 _ 3multipliziert werden. 4) v(r) ist zu r weder direkt noch indirekt proportional. 5) Die Funktion ist vom Typ x ¦ c · x 2 , dh. eine quadratische Funktion. 6) Der Graph ist Teil einer Parabel mit dem Scheitel S = (0 1 0). Die letzten beiden Aufgaben zeigen, dass die Betrachtung von Formeln unter dem Gesichtspunkt von Funktionen hilfreich sein kann, Fragen der folgenden Art zu beantworten: Wie ändert sich eine Größe, wenn sich eine andere Größe in bestimmter Weise ändert? Wie muss man eine Größe ändern, damit sich eine andere in bestimmter Weise ändert? Ist eine Größe zu einer anderen direkt oder indirekt proportional? von welchem Typ ist der Zusammenhang zweier Größen? Was lässt sich über die grafische Darstellung dieses Zusammenhangs aussagen? In der Formel v = r 2 · π · h kann man durch Umformen noch mehr Funktionen entdecken: Beispiel : Wir berechnen h aus dieser Formel: h = v _ π · r 2 In dieser Formel stecken ua. folgende Funktionen: Die Funktion h mit h(v) = v _ π · r 2 = 1 _ π · r 2 · v (r konstant) typ: f(x) = k · x Die Funktion h mit h(r) = v _ π · r 2 = v _ π · 1 _ r 2 (v konstant) typ: f(x) = c · 1 _ x 2 = c _ x 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv