Mathematik verstehen 6, Schulbuch

111 6 .1 Formeln und Funkt ionen Beispiel 1 : Das volumen v eines geraden Kreiskegels mit dem Radius r und der höhe h ist gegeben durch: v(r, h) = ​ ​r​ 2 ​ π h _ 3 ​ Man kann in dieser Formel eine Funktion sehen, die jedem Zahlenpaar (r 1 h) * ( R + ) 2 die reelle Zahl v(r, h) zuordnet. Wir schreiben kurz: v: ( R + ) 2 ¥ R ‡ (r 1 h) ¦ v(r, h) Beispiel 2 : Der Oberflächeninhalt O eines Quaders mit den Kantenlängen x, y, z ist gegeben durch: O(x, y, z) = 2 · (xy + xz + yz) Man kann in dieser Formel eine Funktion sehen, die jedem Zahlentripel (x I y I z) * (​ ℝ ​ + ​) 3 die reelle Zahl O(x, y, z) zuordnet. Wir schreiben kurz: O: ( R + ) 3 ¥ R ‡ (x 1 y 1 z) ¦ O(x, y, z) Diese Beispiele legen nahe, den Begriff der reellen Funktion in folgender Weise zu verallgemeinern: Definition Eine Funktion f: A ¥ ℝ mit A a ​ ℝ ​ n ​nennt man eine reelle Funktion in n variablen . Funktionen in Formeln sehen In einem zylindrischen Messglas mit dem Radius r hat der Flüssigkeitsspiegel die höhe h. Das volumen der Flüssigkeitsmenge im Messglas ist gegeben durch: v(r, h) = r​ ​ 2 ​· π · h In dieser Formel kann man die Funktion v: (r 1 h) ¦ v(r, h) sehen, die jedem Zahlenpaar (r 1 h) das Flüssigkeitsvolumen v(r, h) zuordnet. Ist der Radius konstant, können wir schreiben: v(h) = r​ ​ 2 ​· π · h (r konstant) In dieser Formel kann man die Funktion v: h ¦ v(h) sehen, die jeder Flüssigkeitshöhe h das Flüs- sigkeitsvolumen v(h) zuordnet. Diese Funktion v ist vom typ f(x) = k · x . Betrachten wir zylindrische Messgläser mit verschiedenen Radien, die alle bis zur gleichen höhe mit Flüssigkeit gefüllt sind, können wir schreiben: v(r) = π · h · r​ ​ 2 ​ (h konstant) In dieser Formel kann man die Funktion v: r ¦ v(r) sehen, die jedem Radius r das Flüssigkeitsvolumen v(r) zuordnet. Diese Funktion v ist vom typ f(x) = c · ​x​ 2 ​ . h r x y z R r h h r 1 r 2 r 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv