Mathematik verstehen 6, Schulbuch

105 5 . 7 harmonische schwingungen in der PhYsik Zusammenfassend lässt sich sagen: Eine Kreisbewegung und die dazugehörige harmonische Schwingung können durch analoge Begriffe beschrieben werden, die in der folgenden Tabelle zusammengestellt sind. Größe Bedeutung bei der Kreisbewegung Bedeutung bei der Schwingung r Radius Amplitude T Umlaufzeit (Zeitdauer für einen vollen Umlauf) Schwingungsdauer (Zeitdauer für eine volle Schwingung) f Umlaufzahl (Anzahl der Umläufe pro Sekunde) Frequenz (Anzahl der Schwingungen pro Sekunde) ω Winkelgeschwindigkeit Kreisfrequenz Phasenverschiebung Der Begriff der harmonischen Schwingung wird in der Physik noch etwas allgemeiner verwendet. Man spricht auch dann von einer harmonischen Schwingung, wenn die Elongation so beschrieben werden kann: s(t) = r · sin( ω · t + φ) = r · sin 4 ω · 2 t + φ _ ω 3 5 Dies entspricht einer Kreisbewegung, bei der sich der Körper zum Zeitpunkt t = 0 nicht im Punkt P 0 = [r 1 0], sondern im Punkt P 0 = [r 1 φ ] befindet. Der Graph der Funktion s entsteht aus dem Graphen der Funktion s 0 mit s 0 (t) = r · sin( ω · t) durch eine Verschiebung um φ _ ω nach links. Man sagt: Die zu s gehörige Schwingung geht aus der zu s 0 gehörigen Schwingung durch eine Phasenverschiebung hervor. Ausgehend von einer gewöhnlichen Sinusfunktion kann der Graph von s schrittweise aufgebaut werden, indem man der Reihe nach folgende Funktionen betrachtet: s 0 (t) = sin(t) s 1 (t) = sin( ω · t) s 2 (t) = sin 4 ω · 2 t + φ _ ω 3 5 s 3 (t) = r · sin 4 ω · 2 t + φ _ ω 3 5 Beim Übergang von s 0 zu s 1 wird der Graph von s 0 mit dem Faktor 1 _ ω normal zur 2. Achse gestreckt, der Körper führt also im Zeitintervall [0; 2 π ] nicht eine, sondern ω Schwingungen aus. Beim Übergang von s 1 zu s 2 wird der Graph von s 1 um φ _ ω nach links verschoben. Beim Übergang von s 2 zu s 3 wird der Graph von s 2 mit dem Faktor r normal zur 1. Achse gestreckt, die Amplitude wird r-mal so groß. Beispiel : Wir bauen die Funktion f mit f(t) = 3 · sin 2 2 · t + π _ 2 3 = 3 · sin 4 2 · 2 t + π _ 4 3 5 auf die oben beschriebene Art schrittweise auf. f 0 (t) = sin(t) f 1 (t) = sin(2 · t) f 2 (t) = sin 4 2 · 2 t + π _ 4 3 5 f 3 (t) = 3 · sin 4 2 · 2 t + π _ 4 3 5 L 2. A. 1. A. 1 2 0 33 – 1 – 2 – 3 2 π π π _ 2 3 π __ 2 f 2 f 1 f 0 f 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv