Mathematik verstehen 6, Schulbuch

100 5 Winkelfunkt ionen Beziehungen zwischen sinus und cosinus satz: Für alle x * ℝ gilt: (1) cos x = sin 2 x + π _ 2 3 (2) sinx = cos 2 x – π _ 2 3 Im Einheitskreis erkennt man diese Zusammenhänge an den grau unterlegten, kongruenten Dreiecken. Der Graph der Cosinusfunktion geht aus dem Graphen der Sinusfunktion durch eine verschiebung um π _ 2 parallel zur x-Achse nach links hervor. Der Graph der Sinusfunktion geht aus dem Graphen der Cosinusfunktion durch eine verschiebung um π _ 2 parallel zur x-Achse nach rechts hervor. additionstheoreme 5 .19 Gilt für alle x * R 1) sin(x + y) = sinx + siny, 2) cos(x + y) = cos x + cos y? lösung: 1) Nein! Es gilt zB sin 2 π + π _ 2 3 = sin 3 π _ 2 = –1, aber sin π + sin π _ 2 = 0 + 1 = 1. 2) Nein! Suche selbst ein Gegenbeispiel! Für sin(x ± y) und cos(x ± y) bzw. sin x ± siny und cos x ± cos y gibt es folgende Formeln: satz (erstes additionstheorem): Für alle x, y * ℝ gilt: (1) sin(x + y) = sinx · cos y + cos x · siny (3) cos(x + y) = cos x · cos y – sinx · siny (2) sin(x – y) = sinx · cos y – cos x · siny (4) cos(x – y) = cos x · cos y + sinx · siny satz (zweites additionstheorem): Für alle x, y * ℝ gilt: (1) sinx + siny = 2 · sin x + y _ 2 · cos x – y _ 2 (3) cos x + cos y = 2 · cos x + y _ 2 · cos x – y _ 2 (2) sinx – siny = 2 · cos x + y _ 2 · sin x – y _ 2 (4) cos x – cos y = –2 · sin x + y _ 2 · sin x – y _ 2 aufgaben 5 . 20 Zeige mit hilfe des ersten Additionstheorems, dass für alle x * R gilt: a) cos(– x) = cos x c) cos x = sin 2 x + π _ 2 3 e) sin(2x) = 2 · sin x · cos x b) sin(– x) = – sin x d) sin x = cos 2 x – π _ 2 3 f) cos(2 x) = cos 2 x – sin 2 x hinweis zu a) und b) : – x = 0 – x hinweis zu e) und f) : 2 x = x + x R 0 1. A. 2. A. 1 1 cos x x sin (x+ ) x + 2 π 2 π sin(x), cos(x) cos sin x 1 0 –1 2 π –2 π π π _ 2 π _ 2 π _ 2 3 π __ 2 -π - 1. A. 2. A. 1 1 x cos(x – ) sin x x – 2 π 2 π cos sin x 1 0 –1 2 π –2 π π π _ 2 π _ 2 π _ 2 3 π __ 2 -π - sin(x), cos(x) L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv