Mathematik verstehen 6, Schulbuch

10 1 Potenzen, Wurzeln und logari thmen 1 . 2 Potenzen mit eXponenten aus ℤ Definition von Potenzen mit ganzzahligen exponenten Wir kennen schon Zehnerpotenzen mit der Hochzahl 0 und Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen: 10 0 = 1 10 –1 = 1 _ 10 10 – 2 = 1 _ 100 10 – 3 = 1 _ 1 000 usw. Allgemein definiert man: Definition Für alle a * ℝ * und alle n * ℕ * setzt man: (1) a 0 = 1 (2) a –n = 1 _ a n Insbesondere gilt: a –1 = 1 _ a und 1 _ a –n = 1 _ 1 _ a n = a n Bemerkung: 0 0 ist nicht definiert. rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen exponenten Die im vorigen Abschnitt bewiesenen Potenzregeln gelten weiterhin. Die Einführung von negativen Hochzahlen erweist sich dabei als vorteil, da wir bei der Regel a m _ a n = a m – n nicht mehr m > n voraussetzen müssen. Die Beweise dieser Regeln finden sich im Anhang auf Seite 282. Satz (rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen exponenten) Für alle a, b * ℝ * und alle m, n * ℤ gilt: (1) a m · a n = a m + n (2) a m _ a n = a m – n (3) (a m ) n = a m· n (4) (a · b) n = a n · b n (5) 2 a _ b 3 n = a n _ b n 1 . 23 Zeige, dass für alle a, b * ℝ * und alle n * ℤ gilt: 2 a _ b 3 –n = 2 b _ a 3 n lösung: 2 a _ b 3 –n = 1 _ 2 a _ b 3 n = 1 _ a n _ b n = b n _ a n = 2 b _ a 3 n Aufgaben 1 . 24 Berechne: a) 2 – 3 b) 4 – 2 c) 0,2 – 3 d) 0,05 – 4 e) 1,4 – 5 f) 2 1 _ 2 3 – 3 g) 2 3 _ 4 3 – 6 1 . 25 Berechne: a) (– 3) – 4 b) (– 5) – 3 c) – (0,5 – 3 ) d) (– 0,02) – 4 e) (–1,7) – 2 f) 2 – 1 _ 4 3 – 2 g) – 2 3 _ 4 3 –1 1 . 26 Berechne: a) (– 3) 0 b) (5 0 ) 3 c) – (0,4 – 3 ) · 0,4 3 d) ((1,7) – 2 ) 0 e) 2 – 1 _ 4 3 –1 · 2 1 _ 2 3 2 f) 2 – 2 3 _ 4 3 –1 · 3 0 3 – 2 R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv