Mathematik verstehen 5, Schulbuch

99 5 . 4 SINUssAtZ UNd COsINUssAtZ 5 . 37 von einem Dreieck kennt man a = 7, b = 6 und α = 60°. Fertige eine maßstabsgetreue Zeichnung an und berechne β , γ und c! LösUNg: Berechnung von β : S chreibe den Sinussatz so an, dass die gesuchte Größe an erster Stelle steht; das erleichtert das Umformen! sin β _ b = sin α _ a w sin β = b · sin α __ a = 6 · sin60° __ 7 β 1 ≈ 47,93°, β 2 = 180° – β 1 ≈ 132,07° Anhand der maßstabsgetreuen Zeichnung erkennt man, dass β spitz ist. Somit kommt nur die erste Lösung in Frage: β ≈ 47,93°. Berechnung von γ : γ = 180° – ( α + β ) ≈ 72,07° Berechnung von c: c _ sin γ = a _ sin α w c = a · sin γ __ sin α = 7 · sin γ __ sin60° ≈ 7,69 BEMERkUNg: β 2 kann man auch folgendermaßen ausschließen: Es wäre α + β 2 > 180°, was in einem Dreieck nicht sein kann. In einem Dreieck liegt der längeren Seite stets der größere Winkel gegenüber. Wegen a > b ist α > β und somit kommt β 2 nicht in Frage. AUfgAbEN 5 . 38 Berechne die übrigen Seitenlängen und Winkelmaße des Dreiecks! a) a = 8, b = 7, α = 55° c) a = 6, α = 75°, β = 45° e) c = 4,5 , β = 35°, γ = 66° b) b = 5, c = 2, β = 62° d) b = 5, α = 65°, β = 40° f) b = 5,5 , β = 56°, γ = 56° 5 . 39 vom nebenstehenden Dreieck kennt man die folgenden Seitenlängen und Winkelmaße. Stelle Formeln zur Berechnung der übrigen Seitenlängen auf! a) w, δ , ε b) v, δ , φ c) u, δ , φ d) v, δ , ε 5 . 40 Berechne die Seitenlängen des nebenstehend abgebildeten Parallelogramms! 5 . 41 Gegeben ist ein Halbkreis mit dem Mittelpunkt M. Der Punkt N liegt in der Mitte zwischen M und B. Man kennt den Radius r = 9 cm und den Winkel α = 54°. Berechne den Winkel β ! 5 . 42 Einem Beobachter erscheint die Spitze eines Berges unter dem Höhenwinkel α = 42,9°. Den darauf befindlichen 59 m hohen Aussichtsturm sieht man unter dem Sehwinkel 1,1°. Wie hoch befindet sich die Bergspitze über dem Auge des Beobachters? Wie groß ist der Horizontalabstand der Bergspitze vom Beobachter? 5 . 43 Auf der Reiseflughöhe angelangt gibt der Kapitän eines Passagierflugzeugs dem Autopiloten folgende Daten ein: Kurs: S 2° O, Eigengeschwindigkeit: 850 km/h. Aufgrund eines Ostwindes fliegt die Maschine tatsächlich in Richtung S 1° W. Welche Geschwindigkeit hat der Wind? α b c a β γ L δ v u w ε φ B C 30° 15° D 5 A B M r N A β α 2° 850 1° Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv