Mathematik verstehen 5, Schulbuch

98 5 BEREcHNUNgEN IN bEl IEbIgEN DREIEckEN 5 . 4 SINUssAtZ UNd COsINUssAtZ Angabefälle von Dreiecken Ein Dreieck ist durch drei Bestimmungsstücke festgelegt, unter denen mindestens eine Streckenlänge vorkommen muss. Wichtige Angabefälle sind die folgenden: SWW-Fall: Gegeben sind eine Seite und zwei Winkel. SSW-Fall: Gegeben sind zwei Seiten und ein Winkel, der einer dieser Seiten gegenüberliegt. SWS-Fall: Gegeben sind zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel. SSS-Fall: Gegeben sind die drei Seiten. Sinussatz 5 . 36 a) von einem spitzwinkeligen Dreieck kennt man a, α und β . Stelle eine Formel zur Berechnung von b auf! b) von einem spitzwinkeligen Dreieck kennt man a, α und γ . Stelle eine Formel zur Berechnung von c auf! LösUNg: Wir zerlegen das Dreieck durch die Höhe h​ ​ c ​bzw. ​h​ b ​in zwei rechtwinkelige Dreiecke. a) b) Dreieck I: sin β = ​ ​h​ c ​ _ a ​ w ​ h​ c ​= a · sin β Dreieck I: sin γ = ​ ​h​ b ​ _ a ​ w ​ h​ b ​= a · sin γ Dreieck II: sin α = ​ ​h​ c ​ _ b ​= ​ a · sin β __ b ​ w b = ​ a · sin β __ sin α ​ Dreieck II: sin α = ​ ​h​ b ​ _ c ​= ​ a · sin γ __ c ​ w c = ​ a · sin γ __ sin α ​ Man kann zeigen, dass die erhaltenen Formeln für b und c auch für rechtwinkelige und stumpf- winkelige Dreiecke gelten. Man merkt sich diese Formeln leichter in der Form ​ a _ sin α ​ = ​ b _ sin β ​ und ​ a _ sin α ​ = ​ c _ sin γ ​ . Damit ergibt sich der folgende Satz: Sinussatz In jedem Dreieck gilt: ​ a _ sin α ​ = ​ b _ sin β ​ = ​ c _ sin γ ​ Der Sinussatz besagt, dass das verhältnis der Länge einer Seite zum Sinus des dieser Seite ge- genüberliegenden Winkels für jede Seite des Dreiecks gleich groß ist. Der Sinussatz ist im SWW-Fall und im SSW-Fall anwendbar. L L h c α b c a II I A B C β γ D h b α b II I c a A B C β E γ α b c a β γ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv