Mathematik verstehen 5, Schulbuch

97 5 . 3 DIE tRIgONOMEtRIscHE FläcHENINHAltsfORMEl 5 . 3 DIE tRIgONOMEtRIscHE FläcHENINHAltsfORMEl Flächeninhalt eines Dreiecks 5 . 29 von einem Dreieck kennt man a, b und γ . Stelle eine Formel für den Flächeninhalt A des Dreiecks auf! LösUNg: sin γ = h b _ a w h b = a · sin γ A = b · h b _ 2 = b · a · sin γ __ 2 = a · b _ 2 · sin γ In der letzten Aufgabe haben wir die Formel A = a · b _ 2 · sin γ erhalten. Wir haben diese Formel nur für spitzwinkelige Dreiecke hergeleitet, doch man kann zeigen, dass diese Formel auch für recht- winkelige und stumpfwinkelige Dreiecke gilt. Analog kann man die beiden restlichen Formeln des folgenden Satzes beweisen. Satz (trigonometrische Flächeninhaltsformel) Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt: A = a · b _ 2 · sin γ = a · c _ 2 · sin β = b · c _ 2 · sin α Merke Flächeninhalt eines Dreiecks = „Seite mal Seite halbe mal Sinus des eingeschlossenen Winkels“ AUfgAbEN 5 . 30 Berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks! a) a = 6, b = 4, γ = 30° c) a = 3,5 , b = 5,7 , γ = 101° e) a = 17, c = 23, β = 56° b) b = 23,5 , c = 5,2 , α = 81° d) a = 17, c = 23, β = 90° f) b = 0,5 , c = 0,9 , α = 120° 5 . 31 Welche Formel ergibt sich aus der trigonometrischen Flächeninhaltsformel, wenn das Dreieck rechtwinkelig (mit γ = 90°) ist? 5 . 32 von einem Dreieck ABC sind die Seitenlängen a und b fest vorgegeben. Der eingeschlossene Winkel γ kann variiert werden. Ermittle das Winkelmaß γ so, dass der Flächeninhalt des entstehen- den Dreiecks möglichst groß ist! Begründe mit der trigonometrischen Flächeninhaltsformel! 5 . 33 von einem Parallelogramm kennt man a, b und ein Winkelmaß. Leite aus der trigonometrischen Flächeninhaltsformel für Dreiecke eine Flächeninhaltsformel für dieses Parallelogramm her und berechne den Flächeninhalt A des Parallelogramms! a) a = 29, b = 33, α = 67° b) a = 14, b = 11, β = 49° c) a = 30, b = 24, γ = 119° 5 . 34 Berechne die Winkelmaße des Parallelogramms mit folgenden Angaben! a) a = 7,5 cm, b = 4,0 cm, A = 24,87cm 2 , α > 90° b) a = 37mm, b = 93mm, A = 3324mm 2 , β > 90° 5 . 35 Zwei Parallelogramme stimmen in den Seitenlängen überein, die jeweiligen Winkel beim Eck- punkt A sind jedoch supplementär (dh. ergänzen einander auf 180°). Begründe, wenn möglich auf verschiedene Arten, dass diese Parallelogramme den gleichen Flächeninhalt besitzen! L kompakt Seite 103 h b γ b c a L γ δ β α b a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv