Mathematik verstehen 5, Schulbuch

89 5 .1 KARtEsIscHE KOORdINAtEN UNd POlARkOORdINAtEN Ein Punkt P in einem solchen Koordinatensystem lässt sich durch ein Paar reeller Zahlen be- schreiben. Dazu legt man durch P Parallele zur 1. bzw. 2. Achse (siehe Abb. 5.1). Falls diese die Achsen an den Stellen x und y schneiden, kann man dem Punkt P das Zahlenpaar (x 1 y) zuordnen. So wie man auf einer Zahlengeraden die Punkte mit den zugeordneten Zahlen identifiziert, iden- tifiziert man auch in einem Koordinatensystem die Punkte mit den zugeordneten Zahlenpaaren und schreibt: P = (x 1 y) . Man nennt x die 1. Koordinate (Abszisse) von P und y die 2. Koordinate (Ordinate) von P . In der Abbildung 5.2 sind folgende Punkte dargestellt: A = (4 1 2), B = (2 1 4), C = (– 5 1 3), D = (– 3 1 – 2,5), E = (3 1 – 2) BEAcHtE : (4 1 2) ≠ (2 1 4), denn die Zahlenpaare (4 1 2) und (2 1 4) entsprechen verschiedenen Punkten. Bei Zahlenpaaren darf die Reihenfolge der Zahlen nicht vertauscht werden. Durch die beiden Koordinatenachsen wird die Ebene in vier Bereiche zerlegt, die man Quadran- ten nennt und die wie in Abb. 5.2 mit Q I, Q II, Q III und Q Iv bezeichnet werden. Die Punkte auf den Achsen zählt man zu keinem Quadranten. Die veranschaulichung von Zahlenpaaren als Punkte in einem Koordinatensystem findet sich schon bei dem französischen Mathematiker Nicole Oresme (gest. 1382) und wurde vor allem von René Descartes , dem Erfinder der Analytischen Geometrie, benützt. Nach seinem lateinischen Namen „Cartesius“ bezeichnet man Koordinatensysteme mit zueinander rechtwinkeligen Achsen als „kartesische Koordinatensysteme“. AUfgAbEN 5 . 01 Zeichne die Punkte P, Q, R in ein Koordinatensystem! Spiegle diese 1) an der 1. Achse, 2) an der 2. Achse und gib die Koordinaten der gespiegelten Punkte an! a) P = (2 1 6), Q = (– 3 1 1), R = (4 1 – 3) b) P = (3 1 0), Q = (– 5 1 4), R = ​ 2 3 ​ ‡ – ​ 5 _ 2 ​ ​ ​ 3 ​ Polarkoordinaten In jeder größeren Gemeinde gibt es ein Ortskoordinatensystem , in dem Geländepunkte (zB Grenzsteine) vermessen werden. Wir setzen der Einfachheit halber ein ebenes Gelände voraus. Die Ermittlung der kartesischen Koordinaten von Geländepunkten ist allerdings schwierig, da man in der Natur nicht hinreichend genau parallel zu den Achsen messen kann. Man ermittelt daher anstelle der kartesischen Koordinaten x und y eines Punktes P ≠ O die Entfernung r = ​ _ OP​ und das Winkelmaß φ wie in den folgenden Abbildungen. Ó Lernapplet g8cq52 René Descartes (1596–1650) R L kompakt Seite 103 Ó Applet 7e32ws y x φ P r x φ y P r y x φ P r φ y x P r O O O O 2. A 2. A 1. A 1. A 1. A 1. A 2. A 2. A Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv